已知坐标平面上y平=4x 抛物线上两点A B 满足
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 12:27:56
已知坐标平面上y平=4x 抛物线上两点A B 满足
已知坐标平面上y平=4x 抛物线上两点A B 满足
已知坐标平面上y平=4x 抛物线上两点A B 满足
1
设抛物线的弦AB使角AFB=2/3π ,A(x',y')B(x'',y'')
y^2=4x,2p=4,p/2=1,焦点F（1,0)准线x=-1
在准线x=-1上点C(-1,y'),D(-1,y'') ,M'(-1,y'/2+y''/2)
AC||BD,
根据抛物线定义,AF=AC,BF=BD,
角AFC=ACF=AFO
角BFD=BDF=DFO
CFD=（2π -2π /3)/2=2π /3
MM'=(AC+BD)/2=AF+BF
2
角AFB=2π /3,
cosAFB=(AF^2+BF^2-AB^2)/2AFBF
-1/2=(AF^2+BF^2-AB^2)/2AFBF
AF^2+BF^2+AFBF=AB^2
MM'/AB=(AF+BF)/√（AF^2+BF^2+AFBF)=√[1+ AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)]
AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)=(BF/AF)/[1+(BF/AF)^2+(BF/AF)]
令BF/AF=t
y=(1+t^2+t)/t,y随着t单调递增
y'=-1/t^2+1
t=1时,y'=0,y最小值3
所以AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)在AF=BF时有极值1/3
AF=BF时,MM'/AB=√(1+1/3)=2√3/3
MM'/AB极值2√3/3
根据抛物线的性质，抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，所以设A，B到准线的摄影点为A‘，B’ ，所以AF=AA‘，BF=BB’， M为AB中点，所以MM‘=1/2（AA’+BB‘），所以将问题转化为一个有着60度角的三角形，60度角相邻的两边之和与60度角对边的比值问题，根据余弦定理，AB^2=AF^2+BF^2-2AF*BF*cos角AFB。角的大小又是已知的，答案便出来了。即AF=BF...
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根据抛物线的性质，抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，所以设A，B到准线的摄影点为A‘，B’ ，所以AF=AA‘，BF=BB’， M为AB中点，所以MM‘=1/2（AA’+BB‘），所以将问题转化为一个有着60度角的三角形，60度角相邻的两边之和与60度角对边的比值问题，根据余弦定理，AB^2=AF^2+BF^2-2AF*BF*cos角AFB。角的大小又是已知的，答案便出来了。即AF=BF时最小，再根据y=x^2联立方程，答案为1
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第二条方法没有错误，出错是从这一步开始：MM'/AB=(AF+BF)/√（AF^2+BF^2+AFBF)=√[1+ AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)]
，正确应为MM'/AB=(AF+BF)/√2（AF^2+BF^2+AFBF)=√[1+AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)]
其他无误正确应为MM'/AB=(AF+BF)/√2（AF^2+BF^2+AFBF)=√2[...
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第二条方法没有错误，出错是从这一步开始：MM'/AB=(AF+BF)/√（AF^2+BF^2+AFBF)=√[1+ AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)]
，正确应为MM'/AB=(AF+BF)/√2（AF^2+BF^2+AFBF)=√[1+AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)]
其他无误
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