解析几何的一道题已知椭圆方程为x平方/4+y平方/3=1,若直线L：y=kx+m与椭圆交于AB两点（AB不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线L过定点,并求出该定点的坐标.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 01:42:43
解析几何的一道题已知椭圆方程为x平方/4+y平方/3=1,若直线L：y=kx+m与椭圆交于AB两点（AB不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线L过定点,并求出该定点的坐标.
解析几何的一道题
已知椭圆方程为x平方/4+y平方/3=1,若直线L：y=kx+m与椭圆交于AB两点（AB不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线L过定点,并求出该定点的坐标.
解析几何的一道题已知椭圆方程为x平方/4+y平方/3=1,若直线L：y=kx+m与椭圆交于AB两点（AB不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线L过定点,并求出该定点的坐标.
设A(x1,y1),B(x2,y2)
将椭圆3x^2+4y^2=12与直线y=kx+m联立
整理得（4k^2+3)x^2+8kmx+4m^2-12=0
x1+x2=-8km/(4k^2+3),x1*x2=(4m^2-12)/(4k^2+3)
C点坐标为(2,0)
CA向量=(x1-2,y1),CB向量=(x2-2,y2)
因为以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点
所以CA向量*CB向量=0
即(x1-2)(x2-2)+y1*y2=0
x1*x2-2(x1+x2)+y1*y2+4=0
y1=kx1+m,y2=kx2+m
y1*y2=k^2x1*x2+km(x1+x2)+m^2=(-12k^2+3m^2)/(4k^2+3)
所以x1*x2-2(x1+x2)+y1*y2+4
=(4k^2+16km+7m^2)/(4k^2+3)=0
4k^2+16km+7m^2=0
(2k+m)(2k+7m)=0
m=-2k或m=-2k/7
直线为y=kx-2k或y=kx-2k/7
化简为y=k(x-2)或y=k(x-2/7)
恒过(2,0)或(2/7,0)
因为(2,0)是右顶点,所以舍去
因此直线方程为y=k(x-2/7),恒过定点(2/7,0)