高数：微分方程dy/dx=y/x+tan(y/x)的通解

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/23 02:08:11

高数：微分方程dy/dx=y/x+tan(y/x)的通解高数：微分方程dy/dx=y/x+tan(y/x)的通解高数：微分方程dy/dx=y/x+tan(y/x)的通解令u=y/x,则y=xudy/d

高数：微分方程dy/dx=y/x+tan(y/x)的通解
高数：微分方程dy/dx=y/x+tan(y/x)的通解

高数：微分方程dy/dx=y/x+tan(y/x)的通解
令u=y/x,
则y=xu
dy/dx=u+xdu/dx,
所以原方程变为
u+xdu/dx=u+tanu,
xdu/dx=tanu,
du/tanu=dx/x
cosudu/sinu=dx/x
d(sinu)/sinu=dx/x
两边求积分
ln|sinu|=ln|x|+C1,C1为任意实数,
sinu=(+,-)e^C1*x
令C=(+,-)e^C1,则
sinu=Cx
u=arcsin(Cx)
y/x=u=arcsin(Cx)
y=xarcsin(Cx).

令y/x = u du = d(y/x) = (xdy-ydx)/x² 则dy/dx = (x²du/dx + y)/x = xdu/dx + u 代入原式代换 xdu/dx + u = u + tanu cosudu/sinu = dx/x 积分得 ln|sinu| = ln|x| + C 即sinu = kx，或写作sin(y/x) = kx 这是通解

有意思

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