设数列｛an｝的前n项和为Sn,b属于R,且满足ban-2^n=(b-1)Sn(1)求证：当b=2时,｛an-n·2^n-1｝是等比数列（2）求an的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 09:18:01
设数列｛an｝的前n项和为Sn,b属于R,且满足ban-2^n=(b-1)Sn(1)求证：当b=2时,｛an-n·2^n-1｝是等比数列（2）求an的通项公式
设数列｛an｝的前n项和为Sn,b属于R,且满足ban-2^n=(b-1)Sn
(1)求证：当b=2时,｛an-n·2^n-1｝是等比数列
（2）求an的通项公式
设数列｛an｝的前n项和为Sn,b属于R,且满足ban-2^n=(b-1)Sn(1)求证：当b=2时,｛an-n·2^n-1｝是等比数列（2）求an的通项公式
(1).
b=2时,2an-2^n=Sn
∴S1=2a1-2^1
即a1=2a1-2
a1=2
Sn=2an-2^n
S[n-1]=2a[n-1]-2^(n-1)
Sn-S[n-1]=2an-2^n-2a[n-1]+2^(n-1)
an=2an-2^(n-1)-2a[n-1]
∴an=2a[n-1]+2^(n-1)
两边同时除以2^n,得：
an/2^n=2a[n-1]/2^n+1/2
an/2^n=a[n-1]/2^(n-1)+1/2
an/2^n-a[n-1]/2^(n-1)=1/2
令kn=an/2^n,则k[n-1]=a[n-1]/2^(n-1),
有kn-k[n-1]=1/2,
说明{kn}是公差1/2的等差数列.
∴kn=k1+(n-1)d=a1/2+(n-1)/2=1+(n-1)/2
kn=(n+1)/2
∴an=kn*2^n
=2^n*(n+1)/2
=n*2^(n-1)+2^(n-1)
∴an-n·2^(n-1)
=n*2^(n-1)+2^(n-1)-n*2^(n-1)
=2^(n-1)
令pn=2^(n-1),则p[n-1]=2^(n-2)
pn/p[n-1]=2,
说明｛pn｝是公比为2的等比数列,
即｛an-n·2^n-1｝就是公比为2的等比数列.
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(2)
ban-2^n=(b-1)Sn
n=1时,ba1-2=(b-1)a1,
所以a1=2.
(b-1)Sn=ban-2^n
(b-1)S[n-1]=ba[n-1]-2^(n-1)
(b-1)(Sn-S[n-1])=ban-ba[n-1]-2^(n-1)
(b-1)an=ban-ba[n-1]-2^(n-1)
an=ba[n-1]+2^(n-1)
两边同时除以2^n,得：
an/2^n=b/2*a[n-1]/2^(n-1) +1/2
令fn=an/2^n,则f[n-1]=a[n-1]/2^(n-1),
fn=b/2*f[n-1] +1/2
【题外话】
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对于型如 fn=k*f[n-1]+C 之类的数列表达式,
应转化为 fn+x=k*(f[n-1]+x),
这样就可确定 (fn+x)/(f[n-1]+x)=k,
即{fn+x}是公比为k的等比数列.
解上述方程可得
x=C/(k-1)
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对于 fn=b/2*f[n-1] +1/2,
C=1/2,k=b/2
所以x=(1/2)/(b/2-1)=1/(b-2)
可转化为
fn+1/(b-2)=b/2*(f[n-1]+1/(b-2))
所以{fn+1/(b-2)}是公比为b/2的等比数列.
fn+1/(b-2)=(f1+1/(b-2))*(b/2)^(n-1)
fn=an/2^n,
所以f1=a1/2=2/2=1,
代入上式得
an/2^n+1/(b-2)=(1+1/(b-2))*(b/2)^(n-1)
化简得
an=((2b-2)*b^(n-1)-2^n)/(b-2)