数论:y=am+bn,m,n均为自然数.1.若a=3,b=5,是否有y取不到的自然数?有多少个y取不到的自然数?2.怎样设置a和b的值,使得y取不到的数是有限的?3.现在,已知a,b均不等于2,而且y取不到的数恰好有65个.a,b分

数论:y=am+bn,m,n均为自然数.1.若a=3,b=5,是否有y取不到的自然数?有多少个y取不到的自然数?2.怎样设置a和b的值,使得y取不到的数是有限的?3.现在,已知a,b均不等于2,而且y取不到的数恰好有65个.a,b分
数论:y=am+bn,m,n均为自然数.1.若a=3,b=5,是否有y取不到的自然数?有多少个y取不到的自然数?
2.怎样设置a和b的值,使得y取不到的数是有限的?
3.现在,已知a,b均不等于2,而且y取不到的数恰好有65个.a,b分别是多少?

数论:y=am+bn,m,n均为自然数.1.若a=3,b=5,是否有y取不到的自然数?有多少个y取不到的自然数?2.怎样设置a和b的值,使得y取不到的数是有限的?3.现在,已知a,b均不等于2,而且y取不到的数恰好有65个.a,b分
首先有裴蜀定理,对整数a,b,c,方程ax+by = c有整数解当且仅当(a,b) | c.
因此若a,b不互质,am+bn能取到的自然数只有(a,b)的倍数,有无穷多个自然数不能取到.
于是只要考虑a,b互质的情况.
当为a,b互质的正整数,设(x,y) = (m,n)为ax+by = c的一组整数解.
容易证明ax+by = c的全体整数解为(x,y) = (m+bk,n-ak),其中k为整数.
这些整数解中存在唯一的一个,使0 ≤ x < b.
当c ≥ ab,满足0 ≤ x < b的解必同时满足y > 0,此时x,y都是自然数.
因此当c ≥ ab,ax+by = c必有自然数解.
于是a,b互质时,am+bn不能取到的自然数只有有限个.
因此第2问的答案就是:取不到的数只有有限个,当且仅当a,b互质.
下面具体计算a,b为互质的正整数时,有多少个自然数不能取到.
只需考虑0 ≤ c < ab.
设ax+by = c有一组自然数解(x,y) = (m,n),则有0 ≤ m < b,0 ≤ n < a.
若k ≥ 1,则n-ak < 0,若k ≤ -1,则m+kb < 0.
因此ax+by = c至多有一组自然数解.
[0,ab)中有自然数解的c的个数就等于满足0 ≤ ax+by < ab的自然数对(x,y)的个数.
在坐标平面上考虑直线ax+by = ab与x轴,y轴围成的直角三角形.
满足0 ≤ ax+by ≤ ab的自然数对(x,y)的个数就等于该直角三角形内部和边界上的整点数目N.
其中满足ax+by = ab的有两个点(b,0)与(0,a),其余点都满足0 ≤ ax+by < ab,个数为N-2.
再考虑由直线ax+by = ab与x = b,y = a围成的直角三角形.
由对称性,其内部和边界上整点数目也为N(包括(b,0)与(0,a)).
两个直角三角形一起构成矩形[0,b]×[a,0],其中有整点(b+1)(a+1)个.
因此2N-2 = (b+1)(a+1),N = (ab+a+b+3)/2.
满足0 ≤ ax+by < ab的自然数对的个数为N-2 = (ab+a+b-1)/2.
即0至ab-1这ab个数中,am+bn能取到的有(ab+a+b-1)/2个.
因此不能取到的有ab-(ab+a+b-1)/2 = (a-1)(b-1)/2个.
至此我们得到:对互质的正整数a,b,不能表示为am+bn的自然数有(a-1)(b-1)/2个.
第1问,若a = 3,b = 5,有(a-1)(b-1)/2 = 4个自然数不能取到.
第3问,若恰好有65个自然数不能取到,有(a-1)(b-1)/2 = 65,即(a-1)(b-1) = 130.
满足2 < a < b的正整数解有a = 3,b = 66; a = 6,b = 27; a = 11,b = 14.
其中只有a = 11,b = 14是互质的,是满足条件的唯一解.
去掉a < b的限制后,还有a = 14,b = 11这一组.

1）若a=3，b=5，则y=3m+5n，y+1=3(m-3)+5(n+2)，
所以在m≥3的时候，y可以取[9,+∞]所有的自然数。
m=2，n=0,1,2...时
y=6,11...
m=1，n=0,1,2...时
y=3,8,13...
m=0,n=0,1,2...时
y=0,5,10...
即，在[0,8]的区间中，y能取的自然...

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1）若a=3，b=5，则y=3m+5n，y+1=3(m-3)+5(n+2)，
所以在m≥3的时候，y可以取[9,+∞]所有的自然数。
m=2，n=0,1,2...时
y=6,11...
m=1，n=0,1,2...时
y=3,8,13...
m=0,n=0,1,2...时
y=0,5,10...
即，在[0,8]的区间中，y能取的自然数有0,3,5,6,8，
综上，y取不到的自然数为1,2,4,7，共4个。
2）若a和b不互质，则y必可表示成其最小公约数k（k≠1）的倍数，取不到的自然数定是无限的。
所以若想y取不到的数有限，必要条件是a和b互质。
下面还没想好……

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1,首先可以判断，超过a*b以后，所有的数都能取到。
可以在0到14中寻找，结果是1，2，4，7。不能取到。
如果需要跟进一步限制范围，因为 2a/b 余数为1，b=a+2所以可以进一步推到得到，大于a+b的数都能得到，
加入y=a+b，刚好可以得到，a+b+1=3a， a+b+2 =2b，a+b+3=2a+b。。。。
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1,首先可以判断，超过a*b以后，所有的数都能取到。
可以在0到14中寻找，结果是1，2，4，7。不能取到。
如果需要跟进一步限制范围，因为 2a/b 余数为1，b=a+2所以可以进一步推到得到，大于a+b的数都能得到，
加入y=a+b，刚好可以得到，a+b+1=3a， a+b+2 =2b，a+b+3=2a+b。。。。
只要大于 a+b的都可以得到。
2，至少需要一个奇数，另外一个不能整数改数。
3，首先这两个数成绩一定要大于65，

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