设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,求|A*|以及|A^2-2A+E|

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 17:23:26
设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,求|A*|以及|A^2-2A+E|设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,求|A*|以及|A^2-2A+E|设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,求|A*|以及|A^2-

设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,求|A*|以及|A^2-2A+E|
设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,求|A*|以及|A^2-2A+E|

设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,求|A*|以及|A^2-2A+E|
此题考查特征值的性质
用常用性质解此题:
1.A的行列式等于A的全部特征值之积
所以 |A| = -1*1*2 = -2
2.若a是可逆矩阵A的特征值,则 |A|/a 是A*的特征值
所以A*的特征值为 2,-2,-1
所以|A*| = 2*(-2)*(-1) = 4.
注:当然也可用伴随矩阵的行列式性质 |A*| = |A|^(n-1) = |A|^2 = (-2)^2 = 4.
3.若a是可逆矩阵A的特征值,则对多项式g(x),g(a)是g(A)的特征值
这里 g(x) = x^2-2x+1,g(A)=A^2-2A+E
所以 g(A)=A^2-2A+E 的特征值为 g(-1),g(1),g(2),即 4,0,1
所以 |A^2-2A+E| = 4*0*1 = 0

(A*)A=|A|E
同取行列式
|(A*)A|=||A|E|
|(A*)|*|A|=||A|E|=|A|^3
|A*|=|A|^2=（-1*1*2）^2=4
|A^2-2A+E|=|(A-E)^2|=|A-E|^2
A-E的特征值是：-2,0,1
所以|A-E|=0
|A^2-2A+E|=0请问 |(A*)|*|A|=||A|E|=...

全部展开

(A*)A=|A|E
同取行列式
|(A*)A|=||A|E|
|(A*)|*|A|=||A|E|=|A|^3
|A*|=|A|^2=（-1*1*2）^2=4
|A^2-2A+E|=|(A-E)^2|=|A-E|^2
A-E的特征值是：-2,0,1
所以|A-E|=0
|A^2-2A+E|=0

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