如何证明x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）我想了很久也没想通,

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 21:38:32
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如何证明x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）我想了很久也没想通,
如何证明x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）
我想了很久也没想通,

如何证明x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）我想了很久也没想通,
所证式子的前半部分可由a^3+b^3+c^3>=3abc得到(将a,b,c分别换成三次根号a,b,c即可),以下用高中方法证明a^3+b^3+c^3>=3abc:
先证a^3+b^3>=ba^2+ab^2:
(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2
因为a>0,b>0,易知上式大于等于零,故a^3+b^3>=ba^2+ab^2成立.
同理可得b^3+c^3>=bc^2+cb^2,a^3+c^3>=ca^2+ac^2,三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)>=(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
>=b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3>=3abc(当且仅当a=b=c时取等号)
后半部分证明则利用前半部分的结论:
易知yz+xz+xy>=3*[(xyz)^2的立方根],则
3*[(xyz)^2的立方根]/(yz+xz+xy)<=1,等式两边同乘以(xyz)的立方根,得
3xyz/(yz+xz+xy)<=(xyz)的立方根
不等式左边上下同除以xyz,得
3*1/(1/x+1/y+1/z)<=(xyz)的立方根
即[(xyz)的立方根]>=3*1/(1/x+1/y+1/z）
所以后半部分得证.

如何证明X^3+Y^3+Z^3-3XYZ>=0 如何证明x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）我想了很久也没想通, 如何证明方程x^2+y^2+z^2=(xyz)^2没有正整数解? x+y+z+2=xyz,x,y,z.为正实数,证明：xyz(x-1)(y-1)(z-1) 已知:xyz∈R+且x+y+z=1,求证:(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz该如何证明? 24xy²z²(x+y-z)-32xyz(z-x-y)²+8xyz³(z-x-y) 为 -8xyz(z-x-y)(3yz+4z-4x-4y+z²)我的过程是这样的：解：原式=-24xy²z²(z-x-y)-32xyz(z-x-y)²+8xyz²(z-x-y)=-[24xy²z²(z-x-y)+32xyz(z-x-y)²+8 如果x,y,z是不相等的正数,证明(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)/(x+y+z)>=xyz 已知:xyz+xy+xz+yz+x+y+z=3 求：u=xyz(x+y+z) 的最大值 xyz=x+y+z的正整数解是（1,2,3）的唯一性怎么证明? 当x+y+z=0,x的立方加y的立方加z的立方等于3xyz怎么证明 证明x三次方+y三次方+z三次方>=3xyz 代数式的恒等变形3已知（x+y+-z）/z=(x-y+z)/y=(-x+y+z)/x且xyz不等于0求分式（x+y)(y+z）(z+x)/xyz的值 若x,y,z是正实数,且x+y+z=xyz,证明：(y+z/x)+(z+x/y)+(x+y/z)≥2倍的(1/x)+(1/y)+(1/z)的平方 设X+Y+Z=0求X^3+X^2Z-XYZ+Y^2Z+Y^3的值 证明：（x+y+z)^3xyz-(yz+zx+xy)^3=xyz(x^3+y^3+z^3)-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3) 设x,y,z为正实数,证明:x^4+y^4+z^4-x^3*(y+z)-y^3*(z+x)-z^3*(x+y)+xyz(x+y+z)>=0 证明是否恒等式 （X-Y)(Y-Z)(Z-X)=XYZ-X^2-Y^2-Z^2 若xyz不等于0,且(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/z,求(y+z)(z+x)(x+y)/xyz的值?