已知:a>0,b>0,c>0.求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc急

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 22:51:10
已知:a>0,b>0,c>0.求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc急已知:a>0,b>0,c>0.求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc急已知:a>0,b>0,c>0.求证:(a+b

已知:a>0,b>0,c>0.求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc急
已知:a>0,b>0,c>0.求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

已知:a>0,b>0,c>0.求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc急
a>0,b>0
所以a+b>=2根号(ab)
同理
b+c>=2根号(bc)
c+a>=2根号(ca)
相乘,右边是8根号(ab*bc*ca)=8abc
(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc

a+b>=2根号下ab
b+c>=2根号下bc
a+c>=2根号下ac
三个式子一相乘就是结果

(a+b)/c≥2*根号(a*b/c^2)
(c+b)/a≥2*根号(c*b/a^2)
(a+c)/b≥2*根号(a*c/b^2)
三式子成起来就可以得到答案

均值不等式

(a+b)(b+c)(c+a)=2abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ac^2+ab^2+a^2c+b^2c=2abc+b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)≥2abc+2abc+2abc+2abc=8abc