高一数学值域问题怎么求~~~说的越简单越好~~~
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/01 09:33:56
高一数学值域问题怎么求~~~说的越简单越好~~~
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说的越简单越好~~~
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值域问题是高中函数的一个精华问题.
有很多问题都是围绕着他展开的.比如说恒成立问题,值域反求定义与问题（即反函数求定义域）……等等.下面就说一下最基本的集中求值域问题的类型.
首先要着重说的是：求值域,必先看定义域.所有函数都是如此.
1.单调性法
利用函数的单调性.当一个函数单调性很容易判断时,可用定义域来求解.
e.g.1 y=x-√（1-2x).求值域.
1-2x≥0,得x≤1/2.
观察得,函数在指定区间内为增函数,所以y有最大值,即1/2-√（1-1）=1/2.
所以值域为（-∞,1/2].
2.判别式法.适用于y是x的2次函数的情况.且x∈R.
y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域.
将原式变形得
y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得
（y-1）x^2+(1-y)x+y=0.
因为y=1时,推出y=0.即x∈Φ
所以y≠1.
x∈R,即此式恒有根,所以Δ=（1-y)^2-4(y-1)*y≥0,
解得-1/3≤y≤1.
又因为y≠1,所以
y∈[-1/3,1).
注：此法可用的原因：化成x的式子后发现,x∈R对该式都成立,也就是说有这样的x,一定可以为根,要y来配合.此式由无穷个根,即如果你给了合适的y后,在式子中总能找到x解.那么这个y就是为了保证让式子一定有解才会满足x∈R成立,即判别式大于等于0.
3.分离常数法.适用于分母分子有相同的形式的部分,然后用观察法（单调性法）
y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域.
变形为y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)
因为sinx∈[-1,1],所以2+sinx∈[1,3].所以4/（2+sinx)∈[4/3,4].
所以y∈[1/3,3]
4.反表示法.把未知项（含x项）用y来表示,要知道未知项的范围.
y=3^x/(3^x+1).求值域.
变形得3^x(1-y)=y.讨论
当y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立（因为此式小于1）所以y≠1,
则有3^x=y/(1-y).这就是说3^x与y/(1-y）是等同的.那么他们的范围也就等同.也就是说y/(1-y)＞0.解得y∈(0,1).
5.几何意义法.题干的形式会让我们产生联想.如想到斜率、两点间距离公式等.
①.y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域.
先看定义域,全体实数.那么不用管了.
变形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2].
y的几何意义是（x,0)点到点（0,1）的距离与（x.0)点到点（2,2）的距离的和.画出图像,观察知,当（x,0)点在直线y-2=3/2(x-2)上时,有最小值.
解直线与x轴交点,得x=2/3.对应的原函数值y=√(4+9)=√13.(勾股定理）
②.求y=sinx/(2-x)的值域.
变形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的几何意义是（2,0）到（cosx,sinx)的斜率的相反数.画图,观察计算得k的范围是[-√3/3,√3/3].
所以y的范围是-k,为[-√3/3,√3/3].
如果你是新生的话,可能有些东西你还没接触到,理解的会差一些.没关系,不出几个月,你就都能学到了.
除了上面我介绍的几种方法外,还有什么换元法,上下同除法,平方去根号法,导数法等等.但最常用的还是上面那几个.