试证明：不存在两个自然数,它们的差与和的乘积等于1990.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 16:14:50
试证明：不存在两个自然数,它们的差与和的乘积等于1990.
试证明：不存在两个自然数,它们的差与和的乘积等于1990.
试证明：不存在两个自然数,它们的差与和的乘积等于1990.
设两个自然数为a,b
(a+b)(a-b)=1990
因为a+b和a-b同为奇数或偶数
所以
1.同为奇数
则它们乘积为奇数,而1990是偶数,矛盾,不可能；
2.同为偶数
则它们乘积为2×2=4的倍数,而1990=2×995只是2的倍数,而不是4的倍数
所以
不存在两个自然数,它们的差与和的乘积等于1990..
两数和与两数差的奇偶性相同
将1990质因数分解为199*5*2
可知1990不能分解为两个同奇同偶的数
设两个自然数分别为a和b,不妨设a>b
则其和与差的乘积为
如果存在(a+b)(a-b)=1990
因为a,b是自然数,a>b,所以a+b和a-b也是自然数
1990除了1和2002外可以是两个因数2*995，5*398,199*10
所以验证三种情况
a+b=995和a-b=2 方程组1
a+b=398和a-b=5 方程组2
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设两个自然数分别为a和b,不妨设a>b
则其和与差的乘积为
如果存在(a+b)(a-b)=1990
因为a,b是自然数,a>b,所以a+b和a-b也是自然数
1990除了1和2002外可以是两个因数2*995，5*398,199*10
所以验证三种情况
a+b=995和a-b=2 方程组1
a+b=398和a-b=5 方程组2
a+b=199和a-b=10 方程组3
同时成立的时候才有(a+b)(a-b)=1990成立
解这3个2元1次方程组得
a=997/2,b=993/2
a=403/2,b=393/2
a=209/2,b=189/2
所以没有整数解
因此与题设a,b均为自然数矛盾
所以不存在两个自然数，它们差与和的乘积是1990
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