几何不等式(能做几题算几题）1△ABC中,D是中线AM上一点,若∠DCB>∠DBC,求证：∠ACB>∠ABC2锐角三角形ABC中最大高线AH等于中线BM,求证∠BAB+BC+CA

几何不等式(能做几题算几题）1△ABC中,D是中线AM上一点,若∠DCB>∠DBC,求证：∠ACB>∠ABC2锐角三角形ABC中最大高线AH等于中线BM,求证∠BAB+BC+CA
几何不等式(能做几题算几题）
1△ABC中,D是中线AM上一点,若∠DCB>∠DBC,求证：∠ACB>∠ABC
2锐角三角形ABC中最大高线AH等于中线BM,求证∠BAB+BC+CA

几何不等式(能做几题算几题）1△ABC中,D是中线AM上一点,若∠DCB>∠DBC,求证：∠ACB>∠ABC2锐角三角形ABC中最大高线AH等于中线BM,求证∠BAB+BC+CA
1.证：在三角形ADN与AEN中,它们的面积比S(ADN):S(AEN)=DN:EN=[AD*AN*sin(角DAN)]:[AE*AN*sin(角EAN)]而因AD=AE,则DN:EN=sin(角DAN):sin(角EAN).EN*sin(角DAN)=DN*sin(角EAN).（……1）在三角形ABM与ACM中,因BM=CM,则两三角形面积相等,即S(ABM)=S(ACM)所以,AB*AM*sin(角DAN)=AC*AM*sin(角EAN).即AB*sin(角DAN)=AC*sin(角EAN).（……2）（1）、（2）两式同时相比,消去两个三角函数（因它们显然都不为0）,得EN/AB=DN/AC.所以,DN×AB=EN×AC .
2.最长高,说明a最短边
3.A≤A+B+C=180°
若最小角为60度,则必为等边三角形
AH=BM,不可能是等边三角形
∠ABC＜60度
5.分别过P作BC、AC、AB的垂线PX、PY、PZ,长度分别记为x,y,z,而对应的BC、AC、AB长则记为a,b,c,过P作直线B'C'交AC、AB于B'、C'使得∠AB'C'=∠ABC
那么就有S△APB'+S△APC'=0.5(y*AB'+z*AC')≤0.5PA*B'C' (仅当PA垂直B'C'时等号成立)
易证△AB'C'∽△ABC
AB'=kc,AC'=kb,B'C'=ka
因此有
0.5(ykc+zkb)≤0.5PA*ka
(c/a)y+(b/a)z≤PA
同理有
(c/b)x+(a/b)z≤PB
(a/c)y+(b/c)x≤PC
加起来有
x[(c/b)+(b/c)]+y[(a/c)+(c/a)]+z[(a/b)+(b/a)]≤PA+PB+PC
根据均值不等式可得
2(x+y+z)≤PA+PB+PC
而sin∠PAB=z/PA,sin∠PBC=x/PB,sin∠PCA=y/PC
假设它们全都大于30度,那这些正弦值就全都大于1/2
2z>PA,2x>PB,2y>PC
加起来得到2(x+y+z)>PA+PB+PC,显然与上面那个不等式矛盾,因此不可能,必然有小于等于30度的
6.

哥们你这个去百度查查吧，要不找个几何QQ群，找里面的人帮你解答

这也忒复杂了，估计很少人会回答

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证：在三角形ADN与AEN中，它们的面积比S(ADN):S(AEN)=DN:EN=[AD*AN*sin(角DAN)]:[AE*AN*sin(角EAN)]而因AD=AE，则DN:EN=sin(角DAN):sin(角EAN).EN*sin(角DAN)=DN*sin(角EAN).（……1）在三角形ABM与ACM中，因BM=CM，则两三角形面积相等，即S(ABM)=S(ACM)所以，AB*AM...

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证：在三角形ADN与AEN中，它们的面积比S(ADN):S(AEN)=DN:EN=[AD*AN*sin(角DAN)]:[AE*AN*sin(角EAN)]而因AD=AE，则DN:EN=sin(角DAN):sin(角EAN).EN*sin(角DAN)=DN*sin(角EAN).（……1）在三角形ABM与ACM中，因BM=CM，则两三角形面积相等，即S(ABM)=S(ACM)所以，AB*AM*sin(角DAN)=AC*AM*sin(角EAN).即AB*sin(角DAN)=AC*sin(角EAN).（……2）（1）、（2）两式同时相比，消去两个三角函数（因它们显然都不为0），得EN/AB=DN/AC。所以，DN×AB=EN×AC 。
2
证 作MH1⊥BC于H1,由于M是中点,所以
于是在Rt△MH1B中,
∠MBH1=30°.
延长BM至N,使得MN=BM,则ABCN为平行四边形.因为AH为最ABC中的最短边,所以
AN=BC 从而
∠ABN<∠ANB=∠MBC=30°,
∠B=∠ABM+∠MBC
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分别过P作BC、AC、AB的垂线PX、PY、PZ，长度分别记为x,y,z，而对应的BC、AC、AB长则记为a,b,c，过P作直线B'C'交AC、AB于B'、C'使得∠AB'C'=∠ABC
那么就有S△APB'+S△APC'=0.5(y*AB'+z*AC')≤0.5PA*B'C' (仅当PA垂直B'C'时等号成立)
易证△AB'C'∽△ABC
AB'=kc,AC'=kb,B'C'=ka
因此有
0.5(ykc+zkb)≤0.5PA*ka
(c/a)y+(b/a)z≤PA
同理有
(c/b)x+(a/b)z≤PB
(a/c)y+(b/c)x≤PC
加起来有
x[(c/b)+(b/c)]+y[(a/c)+(c/a)]+z[(a/b)+(b/a)]≤PA+PB+PC
根据均值不等式可得
2(x+y+z)≤PA+PB+PC
而sin∠PAB=z/PA，sin∠PBC=x/PB，sin∠PCA=y/PC
假设它们全都大于30度，那这些正弦值就全都大于1/2
2z>PA,2x>PB,2y>PC
加起来得到2(x+y+z)>PA+PB+PC，显然与上面那个不等式矛盾，因此不可能，必然有小于等于30度的

收起

大哥,我只有高一水平,可能很难帮助你,不过我尽我的绵薄之力帮助你回答,希望我你给你帮助!也希望你能把分数加给我!
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证明：在三角形ADN与AEN中，它们的面积比S(ADN):S(AEN)=DN:EN=[AD*AN*sin(角DAN)]:[AE*AN*sin(角EAN)]而因AD=AE，则DN:EN=sin(角DAN):sin(角EAN).EN*sin(角DAN)=DN*sin(角...

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大哥,我只有高一水平,可能很难帮助你,不过我尽我的绵薄之力帮助你回答,希望我你给你帮助!也希望你能把分数加给我!
1
证明：在三角形ADN与AEN中，它们的面积比S(ADN):S(AEN)=DN:EN=[AD*AN*sin(角DAN)]:[AE*AN*sin(角EAN)]而因AD=AE，则DN:EN=sin(角DAN):sin(角EAN).EN*sin(角DAN)=DN*sin(角EAN).（……1）在三角形ABM与ACM中，因BM=CM，则两三角形面积相等，即S(ABM)=S(ACM)所以，AB*AM*sin(角DAN)=AC*AM*sin(角EAN).即AB*sin(角DAN)=AC*sin(角EAN).（……2）（1）、（2）两式同时相比，消去两个三角函数（因它们显然都不为0），得EN/AB=DN/AC。所以，DN×AB=EN×AC 。
2
证明 作MH1⊥BC于H1,由于M是中点,所以
于是在Rt△MH1B中,
∠MBH1=30°.
延长BM至N,使得MN=BM,则ABCN为平行四边形.因为AH为最ABC中的最短边,所以
AN=BC 从而
∠ABN<∠ANB=∠MBC=30°,
∠B=∠ABM+∠MBC
5
分别过P作BC、AC、AB的垂线PX、PY、PZ，长度分别记为x,y,z，而对应的BC、AC、AB长则记为a,b,c，过P作直线B'C'交AC、AB于B'、C'使得∠AB'C'=∠ABC
那么就有S△APB'+S△APC'=0.5(y*AB'+z*AC')≤0.5PA*B'C' (仅当PA垂直B'C'时等号成立)
易证△AB'C'∽△ABC
AB'=kc,AC'=kb,B'C'=ka
因此有
0.5(ykc+zkb)≤0.5PA*ka
(c/a)y+(b/a)z≤PA
同理有
(c/b)x+(a/b)z≤PB
(a/c)y+(b/c)x≤PC
加起来有
x[(c/b)+(b/c)]+y[(a/c)+(c/a)]+z[(a/b)+(b/a)]≤PA+PB+PC
根据均值不等式可得
2(x+y+z)≤PA+PB+PC
而sin∠PAB=z/PA，sin∠PBC=x/PB，sin∠PCA=y/PC
假设它们全都大于30度，那这些正弦值就全都大于1/2
2z>PA,2x>PB,2y>PC
加起来得到2(x+y+z)>PA+PB+PC，显然与上面那个不等式矛盾，因此不可能，必然有小于等于30度的

收起

2.最长高，说明a最短边
3A≤A+B+C=180°
若最小角为60度，则必为等边三角形
AH=BM，不可能是等边三角形
∠ABC＜60度