若(1+x+x^2)^1000=a0+a1x+…………a2000x^2000,则a0+a3+a6+…………+a1998的值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 10:05:57
若(1+x+x^2)^1000=a0+a1x+…………a2000x^2000,则a0+a3+a6+…………+a1998的值为?
若(1+x+x^2)^1000=a0+a1x+…………a2000x^2000,则a0+a3+a6+…………+a1998的值为?
若(1+x+x^2)^1000=a0+a1x+…………a2000x^2000,则a0+a3+a6+…………+a1998的值为?
【法一】由于要求的是展开式中每间隔两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特殊值法．
取ω＝－（1／2）＋（√3／2）i,则ω^3＝1,ω^2＋ω＋1＝0．
令x＝1,得
3^1000＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2000； ①
令x＝ω,得
0＝a0＋a1ω＋a2ω^2＋…＋a2000ω^2000； ②
令x＝ω^2,得
0＝a0＋a1ω^2＋a2ω^4＋a3ω^6＋…＋a2000ω^4000． ③
①＋②＋③得
3^1000＝3（a0＋a3＋a6＋…＋a1998）．
∴a0＋a3＋a6＋…＋a1998＝3^999．
【另法】分拆成(1+x+x^2)*(1+x+x^2)^999
分为3列:
1*(1+x+x^2)^999
+x*(1+x+x^2)^999
+x^2*(1+x+x^2)^999
第一列的a0＋a3＋a6＋a9＋……＋a1998等于(1+x+x^2)^999的a0＋a3＋a6＋a9＋……＋a1998；
第二列的a0＋a3＋a6＋a9＋……＋a1998等于(1+x+x^2)^999的a2＋a5＋a8＋……＋a1997；
第三列的a0＋a3＋a6＋a9＋……＋a1998等于(1+x+x^2)^999的a1＋a4＋a7＋……＋a1996；
这样你应该就知道,其实就是等于(1+x+x^2)^999的a0一直加到a1998也就是等于3^999
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