用重积分计算2x+2y+z=2,x=0,y=0,z=0所围成的四面体的体积急用,谢谢

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/27 00:40:07
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用重积分计算2x+2y+z=2,x=0,y=0,z=0所围成的四面体的体积
急用,谢谢

用重积分计算2x+2y+z=2,x=0,y=0,z=0所围成的四面体的体积急用,谢谢
V=∫∫∫1dV 积分区域为题设中的体积
用先二后一法计算
=∫dz∫∫dxdy (z从2到0,x,y为投影区域)
由2x+2y+z=2可知投影区域为2x+2y=2-z
将投影区域带入上式中的二重积分即可
∫∫dxdy(区域为x+y=1-z/2)
=∫dx∫dy(x从0到1-z/2,y从0到1-x-z/2)
=∫1-x-z/2 dx (x从0到1-z/2)
=(1-z/2)-1/2(1-z/2)^2-z/2(1-z/2)
=1-z/2-1/2(1-z+z^2/4)-z/2+z^2/4
=1-z/2-1/2+z/2-z^2/8-z/2+z^2/4
=1/2-z/2+z^2/8
所以V=∫1/2-z/2+z^2/8 dz (z从2到0)
下面自己算吧!

(提示:∫(a,b)表示从a到b的积分)
四面体的体积V=∫(0,1)dx∫(0,1-x)dy∫(0,2-2x-2y)dz
=2∫(0,1)dx∫(0,1-x)(1-x-y)dy
=∫(0,1)[2(1-x)y-y²]|(0,1-x)dx
=∫(0,1)[2(1-x)²...

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(提示:∫(a,b)表示从a到b的积分)
四面体的体积V=∫(0,1)dx∫(0,1-x)dy∫(0,2-2x-2y)dz
=2∫(0,1)dx∫(0,1-x)(1-x-y)dy
=∫(0,1)[2(1-x)y-y²]|(0,1-x)dx
=∫(0,1)[2(1-x)²-(1-x)²]dx
=∫(0,1)(1-x)²dx
=[-(1-x)³/3]|(0,1)
=0+1/3
=1/3.

收起

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