已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°(1)求图一中BM MN CN的关系(2)图二中（1）的结论是否成立,并加以证明（3）图三中（1）的结论是否成
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 19:51:19
已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°(1)求图一中BM MN CN的关系(2)图二中（1）的结论是否成立,并加以证明（3）图三中（1）的结论是否成
已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°
(1)求图一中BM MN CN的关系
(2)图二中（1）的结论是否成立,并加以证明
（3）图三中（1）的结论是否成立,并加以证明
已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°(1)求图一中BM MN CN的关系(2)图二中（1）的结论是否成立,并加以证明（3）图三中（1）的结论是否成
（1）如图,BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．
此时Q L =2 3 ．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE．
∵BD=CD,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又△ABC是等边三角形,
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中：
BM=CE∠MBD=∠ECDBD=DC
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE,∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中：
DM=DE∠MDN=∠EDNDN=DN ,
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等边△ABC的周长L=3AB．
∴Q L =2AB 3AB =2 3 ．
（3）如图,当M、N分别在AB、CA的延长线上时,若AN=x,
则Q=2x+2 3 L（用x、L表示）．