已知：△ABC为等边三角形,CP是△ABC外角平分线,M是BC上任意一点,∠AME=60°,求证：△AME为等边三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 08:23:56
已知：△ABC为等边三角形,CP是△ABC外角平分线,M是BC上任意一点,∠AME=60°,求证：△AME为等边三角形.
已知：△ABC为等边三角形,CP是△ABC外角平分线,M是BC上任意一点,∠AME=60°,
求证：△AME为等边三角形.
已知：△ABC为等边三角形,CP是△ABC外角平分线,M是BC上任意一点,∠AME=60°,求证：△AME为等边三角形.
四点共圆最简单,初二的知识证明麻烦一些：
在CA上取CD=CM,连接DM,设AC、ME交于点F
先由∠AME=∠ACE=60度,∠AFM=∠CFE
得∠MAD=∠MEC(三角形内角和得出)
容易证明三角形CDM是等边三角形,得∠CMD=∠AME=60度
所以∠AMD=∠CME
因为DM=CM
所以△AMD≌△EMC(AAS)
所以AM=ME
因为∠AME=60度
所以△AME是等边三角形
(两个角度的条件其中之一也可以用∠ADM=∠ECM=120度,更简单一些)
更多类似问题见：http://hi.baidu.com/jswyc/archive/tag/%E5%87%A0%E4%BD%95--%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
江苏吴云超解答 供参考
设AC、ME的交点为D
∵△ABC为等边三角形， CP是△ABC外角平分线
∴∠ACE=60°，即∠ACE=∠AME
∴△AMD∽△ECD
∴∠MAC=∠MEC
∴四边形AMCE是圆内接四边形
∴∠MAE+∠MCE=180°
又∵∠ACE=60°，∴∠MCE=120°
∴∠MAE=60°
又∵∠AME=60°，∴△AME为等边...
全部展开
设AC、ME的交点为D
∵△ABC为等边三角形， CP是△ABC外角平分线
∴∠ACE=60°，即∠ACE=∠AME
∴△AMD∽△ECD
∴∠MAC=∠MEC
∴四边形AMCE是圆内接四边形
∴∠MAE+∠MCE=180°
又∵∠ACE=60°，∴∠MCE=120°
∴∠MAE=60°
又∵∠AME=60°，∴△AME为等边三角形
或者得到△AMD∽△ECD
∴AD/DC=ED/DM
∵∠ADE=∠CDM
∴△ADE∽△CDM
∴∠AEM=∠ACB=60°
又∵∠AME=60°，∴△AME为等边三角形
收起
做MN∥AB交AC于N
则△MNC是等边三角形，MN=MC
∠AME=∠CMN=60°，∴∠AMN=∠EMC=60°-∠EMN
∠AMN=∠ECM=120°
∴△AMN≌△EMC
∴AM=EM
∴△AME是等边三角形