若以三角形ABC的边AB、BC为边向三角形外作正方形ABDE、BCFG,N为AC中点,求证：DG=2BN,BM⊥DG.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 07:45:29
若以三角形ABC的边AB、BC为边向三角形外作正方形ABDE、BCFG,N为AC中点,求证：DG=2BN,BM⊥DG.
若以三角形ABC的边AB、BC为边向三角形外作正方形ABDE、BCFG,N为AC中点,求证：DG=2BN,BM⊥DG.
若以三角形ABC的边AB、BC为边向三角形外作正方形ABDE、BCFG,N为AC中点,求证：DG=2BN,BM⊥DG.
延长MB交DG于H,延长BM到P,使MP=MB,连结AP
易证：△BCM≌△PAM
BC=AP,∠1=∠3,BC∥AP,∠BAP+∠ABC=180°,
又∠DBG+∠ABC=180°,
∴∠DBG=∠BAP
又AP=BC=BG,AB=BD
∴△APB≌△BGD,DG=BP=2BM,∠1=∠2=∠3,
∵∠3+∠4=90°∴∠2+∠4=90°,即∠BHG=90°,BM⊥DG.
倍长BN至点M（我忘了标了），连接AM BN=MN ∠ANM=∠CNB AN=CN △ANB≌△CNB AM=CB=BG ∠NCB=∠NAM ∠BAM=∠BAN+∠NAM=∠BAN+NCB=180-∠ABC ∠DBG=360-∠ABD-∠CBG-∠ABC=360-90-90-∠ABC =180-∠ABC BA=DB ∠BAM=∠DBG AM=GB △BAM≌△DBG DG=BM BM=2BN DG=2BN 垂直很好证，不说了
不知楼主学了立体向量【高中内容】没，没学可以看一下，很好用的
用立体向量很容易就可以证出来
设向量AB为a ，向量BC为b，向量BD为c，向量BG为d
1、要证DG=2BN
这样只需证明：4*[(a+b)/2]^2=(c-d)^2
由于a^2=c^2，b^2=d^2且ab=-cd【a与c垂直相等，b与c垂直相等】
4*[(a+b)/2]^2=(c-d...
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不知楼主学了立体向量【高中内容】没，没学可以看一下，很好用的
用立体向量很容易就可以证出来
设向量AB为a ，向量BC为b，向量BD为c，向量BG为d
1、要证DG=2BN
这样只需证明：4*[(a+b)/2]^2=(c-d)^2
由于a^2=c^2，b^2=d^2且ab=-cd【a与c垂直相等，b与c垂直相等】
4*[(a+b)/2]^2=(c-d)^2显然成立，即DG=2BN
2、要证BM垂直于DG
只需证明(a+b)(c-d)=0
即证:ac-ad+bc-bd=0
由于ac=0，bd=0且bc-ad=0【a与c垂直相等，b与c垂直相等，故a与d的夹角等于b与c的夹角】
ac-ad+bc-bd=0显然成立
即BM垂直于DG
收起
