微分方程,高人入已知sinx-f(x)=∫(x-t)f(t) dt（其中t从0积到x）,求f(x)以下是我做的：令g'(t)=(x-t)f(t)原式即为sinx-f(x)=g(x)-g(0)两边求导cosx-f'(x)=g'(x)=(x-x)f(x)=0所以f(x)=sinx+c上面错在哪?是不是x与t的关
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 19:00:06
微分方程,高人入已知sinx-f(x)=∫(x-t)f(t) dt（其中t从0积到x）,求f(x)以下是我做的：令g'(t)=(x-t)f(t)原式即为sinx-f(x)=g(x)-g(0)两边求导cosx-f'(x)=g'(x)=(x-x)f(x)=0所以f(x)=sinx+c上面错在哪?是不是x与t的关
微分方程,高人入
已知sinx-f(x)=∫(x-t)f(t) dt（其中t从0积到x）,求f(x)
以下是我做的：令g'(t)=(x-t)f(t)
原式即为sinx-f(x)=g(x)-g(0)
两边求导cosx-f'(x)=g'(x)=(x-x)f(x)=0
所以f(x)=sinx+c
上面错在哪?是不是x与t的关系转换有问题?正解应该是什么?需要过程,我有答案,谢谢!
这题就是类似方法做出来的：
已知g(x)是f(x)反函数，∫g(x)（从0到f(x)）=e^x*x^2
令h'(x)=g(x)
原式即为h(f(x))-h(0)=e^x*x^2
两边求导h'(f(x))f'(x)=e^x*x^2+e^x*2x=g(f(x))f'(x)=xf'(x)
就这样求出了f'(x)，貌似方法和上面很像，应该不是完全没道理啊？
微分方程,高人入已知sinx-f(x)=∫(x-t)f(t) dt（其中t从0积到x）,求f(x)以下是我做的：令g'(t)=(x-t)f(t)原式即为sinx-f(x)=g(x)-g(0)两边求导cosx-f'(x)=g'(x)=(x-x)f(x)=0所以f(x)=sinx+c上面错在哪?是不是x与t的关
g'(t)=(x-t)f(t)这么设是不行的,这么设就相当于让g等于所求积分的原函数,而原函数应该是一个只跟x有关的函数.所以应该是g'(x)=(x-t)f(t),理论上是应该这样,不过事实上这么做是解不出这道题的.因为还有t在里面.其实所求积分的原函数是一个广义函数,你的补充里面的那个题没有另外的变量做干扰,所以这么做是没有问题的.
没见过你这样做的，根本没道理，还是自己放弃吧。
积分号内t为积分变量，x可提出，变为x∫f(t)dt-∫tf(t)dt
两边关于x求导得cosx-f'(x)=∫f(t)dt+xf(x)-xf(x) --可消去xf(x)
再求导得-sinx-f”(x)=f(x)
特征方程r^2+1=0 特征根r=i，-i
通解y=C1sinx+C2cosx
特解y=...
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没见过你这样做的，根本没道理，还是自己放弃吧。
积分号内t为积分变量，x可提出，变为x∫f(t)dt-∫tf(t)dt
两边关于x求导得cosx-f'(x)=∫f(t)dt+xf(x)-xf(x) --可消去xf(x)
再求导得-sinx-f”(x)=f(x)
特征方程r^2+1=0 特征根r=i，-i
通解y=C1sinx+C2cosx
特解y=1/2xsinx
f(x)=1/2xsinx+C1sinx+C2cosx
收起
∫(x-t)f(t) dt（其中t从0积到x），是对t积分，视x常量，得到
x∫f(t) dt-∫tf(t) dt
微分，cosx-f'(x)=∫f(t) dt+f(x)-xf(x)
再微分，解二阶微分方程。