若三角形三边a,b,c成等比数列,角B最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 15:38:51
若三角形三边a,b,c成等比数列,角B最大值
若三角形三边a,b,c成等比数列,角B最大值
若三角形三边a,b,c成等比数列,角B最大值
因为三角形三边a,b,c成等比数列
所以 b^2=ac
由余弦定理 cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=(a^2+c^2)/(2ac) - (b^2)/(2ac)
=(a^2+c^2)/(2ac) - 1/2
≥ 1 - 1/2 = 1/2 (由均值不等式得出 a^2+c^2 ≥ 2ac ）
又 0< B< 180°.cos60°=1/2 所以 0
b^2=ac
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(a^2+c^2-ac)/2ac
=((a-c)^2+ac)/2ac
0＜B＜180° cosB单调递减 cosB最小时B最大
（a-c）^2>0 ac>0
cosB最小值为a=c时，cosB=1/2 B=60°
由于a,b,c成等比数列，设b=ad,c=ad2,由余弦定理知
cosB=(a2+c2-b2)/2ac=(a2+a2d4-a2d2)/2a2d2=(1+d4-d2)/2d2=1/(2d2)+1/2d2-1/2
>=2sqrt(1/(2d2)* 1/2d2)-1/2=1/2,
再结合余弦的图像及三角形的角小于180度，就可知B角最大为60度了，cos(60。)=1/2
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由于a,b,c成等比数列，设b=ad,c=ad2,由余弦定理知
cosB=(a2+c2-b2)/2ac=(a2+a2d4-a2d2)/2a2d2=(1+d4-d2)/2d2=1/(2d2)+1/2d2-1/2
>=2sqrt(1/(2d2)* 1/2d2)-1/2=1/2,
再结合余弦的图像及三角形的角小于180度，就可知B角最大为60度了，cos(60。)=1/2
（注：其中有些2是代表平方，不知道怎么在这里显示，希望你能看明白吧）
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