初三几何难题正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P做PF垂直于CD于点F,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.1.若点P在线段AO上(不与点A.O重合)PE垂直于PB且PE交CD于点E.(1)求证:DF=EF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:58:09
初三几何难题正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P做PF垂直于CD于点F,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.1.若点P在线段AO上(不与点A.O重合)PE垂直于PB且PE交CD于点E.(1)求证:DF=EF
初三几何难题
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P做PF垂直于CD于点F,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
1.若点P在线段AO上(不与点A.O重合)PE垂直于PB且PE交CD于点E.
(1)求证:DF=EF
(2)写出线段PC.PA.CE之间的一个等量关系,并证明你的结论
初三几何难题正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P做PF垂直于CD于点F,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.1.若点P在线段AO上(不与点A.O重合)PE垂直于PB且PE交CD于点E.(1)求证:DF=EF
（1）当点P与点O重合时,∵ABCD是正方形,所以三角形COD为等边直角三角形.
∵OF为边CD上的高,由三线合一得：OF为中线.∴CF=DF.
（2）、①若点P在线段AO上（不与点A,O重合）PE⊥PB且PE交CD于点E ,则
连接PD,则三角形PAB≌三角形PAD (SAS).∴PD=PB,∠ADP=∠ABP.
∵PF‖AD ∴∠ADP=∠FPD ∴∠ABP=∠FPD.(1)
而∠0BP+∠OPB=90°,∠OPE+∠OPB=90°.
∴∠OBP=∠OPE.
∵∠OBP+∠ABP=45°,
PE‖BC,∴∠OPE+∠FPE=45,∴∠ABP=∠FPE.（2）
由（1）和（2）得 ∠FPD=∠FPE.∴⊿FPD≌⊿FPE（SAS）
∴DF=EF
②设边长为m,∴DE=a-CE,∴EF=0.5a-0.5CE.
∴CF=0.5a-0.5CE+CE=0.5a+0.5CE.在等腰直角三角形PCF中,CF=FP.由勾股定理得 CF²+FP²=PC²即 2CF²=PC².∴PC=√2CF
∴ PC=√2(0.5a+0.5CE)=√2a×0.5+0.5×√2CE 而AC=PA+PC=√2a.
∴PC=(PA+PC)×0.5+0.5×√2CE .整理,得
PC=PA+√2CE.