空间四边形ABCD中 AB BC CD的中点分别为PQR且AC=4 BD=2倍根号5 PR=3 求AC和BD所成角 最好能画出图

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 23:46:42
空间四边形ABCD中ABBCCD的中点分别为PQR且AC=4BD=2倍根号5PR=3求AC和BD所成角最好能画出图空间四边形ABCD中ABBCCD的中点分别为PQR且AC=4BD=2倍根号5PR=3求

空间四边形ABCD中 AB BC CD的中点分别为PQR且AC=4 BD=2倍根号5 PR=3 求AC和BD所成角 最好能画出图
空间四边形ABCD中 AB BC CD的中点分别为PQR且AC=4 BD=2倍根号5 PR=3 求AC和BD所成角 最好能画出图

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令AD的中点为E.
∵P、E、Q分别是AB、AD、CD的中点,
∴由三角形中位线定理,有:PE∥BD、EQ∥AC,且PE=BD/2=√5、EQ=AC/2=2.
由PE=√5、EQ=2、PQ=3,得:PE^2+EQ^2=PQ^2,∴由勾股定理的逆定理,有:∠PEQ=90°.
由PE∥BD、EQ∥AC,得:∠PEQ=AC与BD所成的角,∴AC与BD所成角的大小为90°.

过点B作BE‖AC连结EC,ED,EA
则在平行四边形EBCA中EB=AC=4
P也是EC的中点
又因为R是DC的中点
所以ED=2PR=6
根据余弦定理,在△EBD中cosB=(BE^2+BD^2-ED^2)/(2*BD*BE)=0
故角EBD=90°所以异面直线AC,BD所成角为90°
(也可直接看出BD^2+BE^2=ED^2)