求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程组的通解2x1-3x2+x3+5x4=0 -3x1+x2+2x3-4x4=0-x1-2x2+3x3+x4=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 01:05:27
求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程组的通解2x1-3x2+x3+5x4=0 -3x1+x2+2x3-4x4=0-x1-2x2+3x3+x4=0
求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程组的通解
2x1-3x2+x3+5x4=0
-3x1+x2+2x3-4x4=0
-x1-2x2+3x3+x4=0
求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程组的通解2x1-3x2+x3+5x4=0 -3x1+x2+2x3-4x4=0-x1-2x2+3x3+x4=0
系数矩阵 A=
[2 -3 1 5]
[-3 1 2 -4]
[-1 -2 3 1]
初等行变换为
[-1 -2 3 1]
[2 -3 1 5]
[-3 1 2 -4]
初等行变换为
[-1 -2 3 1]
[0 -7 7 7]
[0 7 -7 -7]
初等行变换为
[1 0 -1 1]
[0 1 -1 -1]
[0 0 0 0]
方程组同解变形为
x1=x3-x4,
x2=x3+x4
基础解系为 (1,1,1,0)^T,(-1,1,0,1)^T,
通解为 x= k1(1,1,1,0)^T+k2(-1,1,0,1)^T,
其中 k1,k2 为任意常数.
写出增广矩阵为
1 1 1 1 2
1 2 2 1 4
2 1 1 4 β 第2行减去第1行，第3行减去第1行×2
～
1 1 1 1 2
0 1 1 0 2
0 -1 -1 2 β-4 第1行减去第2行，第3行加上第2行
～
1 0 0 1 0
0 1 1 0 2
0 0 0 2 β-2 ...
全部展开
写出增广矩阵为
1 1 1 1 2
1 2 2 1 4
2 1 1 4 β 第2行减去第1行，第3行减去第1行×2
～
1 1 1 1 2
0 1 1 0 2
0 -1 -1 2 β-4 第1行减去第2行，第3行加上第2行
～
1 0 0 1 0
0 1 1 0 2
0 0 0 2 β-2 第3行除以2，第1行减去第3行
～
1 0 0 0 1-β/2
0 1 1 0 2
0 0 0 1 β/2 -1
所以得到通解为c*(0,1,-1,0)^T +(1-β/2,2,0,β/2-1)^T，C为常数
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