n趋近无穷时,n的n次方根的极限怎么求?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/07 13:34:48

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n趋近无穷时,n的n次方根的极限怎么求?

n趋近无穷时,n的n次方根的极限怎么求?
通过求x趋近无穷时,函数y=x的x次方根的极限来确定所求数列的极限.
方法是y=x的x次方根的两边去自然对数函数ln得：
lny=lnx/x
其中,用罗比达法则：lim(x->∞)lnx/x=lim(x->∞)1/x=0
所以lny->0,所以y->1
也就是所求函数极限是1,对应的数列极限也是1.
这里需要注意的是,对于“n的n次方根”这个数列的通项公式,不可以直接用罗比达法则这种包含求导运算的方法直接处理,求导运算是针对函数而言的.

limn^1/n
=lime^(1/n*lnn)
上面可以用洛比塔求导
=lime^-1/n
=1

=n^(1/n)=[1+(n-1)]^(1/n)=[1+(n-1)]^{[1/(n-1)]*[(n-1)/n]}
所以当n趋于无穷大时，[1+(n-1)]^[1/(n-1)]等于e，(n-1)/n]等于1，所以结果为e^1=e
前面那个是高等数学里两个重要极限中的第二个的结论，后面是分式有理式求极限的方法。

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