abcd为不全相等的正数,求证1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2>1/ab+1/bc+1/cd+1/da
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 18:01:11
abcd为不全相等的正数,求证1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2>1/ab+1/bc+1/cd+1/da
abcd为不全相等的正数,求证1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2>1/ab+1/bc+1/cd+1/da
abcd为不全相等的正数,求证1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2>1/ab+1/bc+1/cd+1/da
2/a^2+2/b^2+2/c^2+2/d^2
=(1/a^2+1/b^2)+(1/b^2+1/c^2)+(1/c^2+1/d^2)+(1/d^2+1/a^2)
>2√1/a^2b^2+2√1/b^2c^2+2√1/c^2d^2+2√1/d^2a^2
=2/|ab|+2/|bc|+2/|cd|+2/|da|
=2/ab+2/bc+2/cd+2/da
故
1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2>1/ab+1/bc+1/cd+1/da
证毕
由a^2+b^2.=2ab得 1/a^2+1/b^2>=2*(1/a)*(1/b)
同样 1/b^2+1/c^2>=2*1/bc
1/c^2+1/d^2>=2*1/cd
1/d^2+1/a^2>=2*1/da
四个式子相加，再两边都除以2就得到了
如果你学过柯西不等式得话就简单了，选讲内容里的吧
（1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2）*...
全部展开
由a^2+b^2.=2ab得 1/a^2+1/b^2>=2*(1/a)*(1/b)
同样 1/b^2+1/c^2>=2*1/bc
1/c^2+1/d^2>=2*1/cd
1/d^2+1/a^2>=2*1/da
四个式子相加，再两边都除以2就得到了
如果你学过柯西不等式得话就简单了，选讲内容里的吧
（1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2）*（1/b^2+1/c^2+1/d^2+1/a^2）>=(1/ab+1/bc+1/cd+1/da)^2
两边的平方去掉就是
当然如果你们讲过排序不等式的话，那左边是顺序和，是最大的
收起