自点p(-6,7)发出的光线l射到x轴上点A处,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x^2+y^2-8x-6y+21=0相切与点Q.求光线l所在的直线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 16:49:07
自点p(-6,7)发出的光线l射到x轴上点A处,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x^2+y^2-8x-6y+21=0相切与点Q.求光线l所在的直线方程
自点p(-6,7)发出的光线l射到x轴上点A处,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x^2+y^2-8x-6y+21=0相切与点Q.
求光线l所在的直线方程
自点p(-6,7)发出的光线l射到x轴上点A处,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x^2+y^2-8x-6y+21=0相切与点Q.求光线l所在的直线方程
点P关于x轴对称的对称点为P1,坐标为(-6,-7)；由圆的方程可知,圆心为E (4,3),其半径为r=2.如下图所示：
从图上可知,三角形P1BE为一个直角等腰三角形,直角边边长为10.从P1向圆E作切线,那么有两个切点Q1和Q2,三角形P1Q1E是直角三角形,三条边的边长分别P1E=10*sqrt(2), EQ1=2,
计算得P1Q1=14.连接Q1和Q2,相交P1E于C点,它们相互垂直.由于三角形比较特殊,可以方便的作出几个等腰直角三角形,如图中画的几个带阴影的三角形.图形局部放大,如下：
由于P1Q1E是直角三角形,Q1C是斜边上的高,因此可以计算出各个线段的长度,得到几个小的直角三角形的直角边边长,小一点儿的直角边边长为1/5,大一点的为7/5.因此可以计算得到Q1的坐标(26/5, 7/5),Q2的坐标(12/5, 21/5),再计算出直线P1Q1的斜率和直线P1Q2的斜率.得到k1=3/4, k2=4/3.最终得到直线P1Q1的方程：y=3x/4-5/2,和直线P1Q2的方程：y=4x/3+1.
光线是反射的,方程只要再加一个绝对值就可以了,得：
y=|3x/4-5/2|,或y=|4x/3+1|
上述解答供参考.
我还有一个思路,直线P1Q1（或P1Q2）的方程可写成y=k(x+6)-7,斜率k待定.把直线方程代入圆的方程中,消去变量y,得到关于x的二次方程,形式为ax^2+bx+c=0,a、b、c中包含了待定的k.显然,当b^2-4ac=0时,x只有一个解,这就是切线对应的x的解,由此可以求出k,k应该有两个解.但是,后来试了一试,求解比较复杂,所以最终放弃了.
你出的这道题,明显是特殊位置的点、线、圆,所以还是用几何的方法求解比较快.