一道几何难题如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.点O是AC的中点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC于E.求证：△ABF∽△COE当O为AC边的中点,且AC:AB=2时,求：OF:OE=?当O为AC边的中点,且AC:AB=n时,直接写出OF

一道几何难题如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.点O是AC的中点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC于E.求证：△ABF∽△COE当O为AC边的中点,且AC:AB=2时,求：OF:OE=?当O为AC边的中点,且AC:AB=n时,直接写出OF
一道几何难题
如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.点O是AC的中点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC于E.
求证：△ABF∽△COE
当O为AC边的中点,且AC:AB=2时,求：OF:OE=?
当O为AC边的中点,且AC:AB=n时,直接写出OF:OE的值.
为什么不一样啊
到底是n还是n^3/4

一道几何难题如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.点O是AC的中点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC于E.求证：△ABF∽△COE当O为AC边的中点,且AC:AB=2时,求：OF:OE=?当O为AC边的中点,且AC:AB=n时,直接写出OF

证明：∵ AD⊥BC,AB⊥AC
∴ ∠BAD+∠DAC=90°=∠DAC+∠ACD
∴ ∠BAD=∠ACD
又 ∠ADB=∠FBD+90°=∠OEC
所以,△ABF∽△COE（AAA）
如图一所示,作FP⊥AB,FN⊥AC,EM⊥AC
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ Rt△APF∽Rt△ABC∽Rt△EMC
AC:AB=AP:PF=MC:EM
又,AC=2AB,则AO=OC=AB
∠AOB=∠ABO=∠MOE=∠MEO=45°
∴ Rt△PNO∽Rt△OME
OF:OE=FN:EM
∵ BP=PF,OM=ME,且MC:EM=AP:PF=2
所以,PF=AP/2=AB/3,EM=MC/2=OC/3
∴ EM=PF=AB/3,又AN=PF,AP=FN
∴ FN=2AB/3,EM=OM=AB/3
∴ OF:OE=FN:EM=2
方法二、
如图二所示,作OP垂直于AC交AD延长线于P
则AB//OP,∠BAF=∠FPO
又,∠BAF=∠OFP
∴ △ABF∽△OFP
OF:BF=OP:AB
由（1）证明和OC=AB,△ABF≌△OEC
BF=OE,所以,OF:OE=OP:AB
∵ ∠APO=∠BAD=∠ACB,OA=AB
∴ Rt△ABC≌Rt△APO
OP=AC=2AB
∴ OF:OE=2
方法三、
∵ △ABC是直角三角形,AC:AB=2
∴ OA=OC=AB
设OE=x
∵ OC=AB,据（1）结论
△ABF≌△OEC,OE=BF=x
令AB=1,则AC=2,BC=√5
2AD+AD/2=BC,AD=2BC/5=2√5/5
BD=AD/2=√5/5
又,Rt△BOE∽Rt△BDF
DF:OE=BD:BO
BO=√2,则DF=[(√5/5)/√2]*OE=x√10/10
又,OE^2=DF^2+BD^2
∴ x^2=1/5+x^2/10
x^2=2/9,x=√2/3
OF=BO-BF=2√2/3
所以,OF:OE=2
3）
OF:OE=(n^2BF/2)/(nBF/2)=n

（1）由∠BAD +∠DAC=90°, ∠C+∠DAC=90°
可知∠BAD=∠C
∠ABO+∠AOB=90°, ∠COE+∠AOB=90°,
可知∠ABO=∠COE
△ ABF和△COE有两个角相等，可知△ABF∽△COE
接下来的两个，设AB=x，根据勾股定理和三角形角度...

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（1）由∠BAD +∠DAC=90°, ∠C+∠DAC=90°
可知∠BAD=∠C
∠ABO+∠AOB=90°, ∠COE+∠AOB=90°,
可知∠ABO=∠COE
△ ABF和△COE有两个角相等，可知△ABF∽△COE
接下来的两个，设AB=x，根据勾股定理和三角形角度对边的那个公式可以求出来的。就是那个 a/sinA=b/sinB

收起

1、
∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
作EM⊥OC，交点为M,作FP⊥AB交于AB于P,作FN⊥AO交于AO于N

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1、
∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
作EM⊥OC，交点为M,作FP⊥AB交于AB于P,作FN⊥AO交于AO于N
则ΔBPF ≌ΔOME
∴ OE:OF=BF:OF
∵ ΔBPF∽ΔFNO
∴ BF:OF=PF:NO=PF:FN
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ PF:FN=AB:AC=1:2
∴ OF:OE=2
3、OF:OE=(n^3)/4
证明:
在三角形OEC中，作EM⊥OC，令EM=X，AB=a
作FN⊥AO交于AO于F
则CM=nX，EC=√(n^2+1)X
OM=OC-CM=nX/2-nX
BE=BC-CE=√(n^2+1)a-√(n^2+1)X
OB=√(AB^2+OA^2)=√(n^2+4)/2
由OE^2=BE^2-OB^2=OM^2+EM^2解得：
X=an^2/[2(n^2+2)]
∵ ΔABF∽ΔCEO
∴ OE:BF=OC:AB=EC:AF，可推得：BF:OF=AB:FN-1
BF=OE*EC:AF
∴ OE:OF=(AB:FN)*(AF:EC)-AF:EC
∵ AF:FN=BC:AC
∴ OE:OF=(BC:AC)*(AB:EC)-AF:EC=(AB:AC)*(BC:EC)-AF:EC
∵ AF:EC=AB:OC
∴ OE:OF=(AB:AC)*(BC:EC)-AB:OC
=(1:n)*(BC:EC)-2/n
∵ EC:BC=EM:AB=X:a
∴ OE:OF=(1:n)*(a/X)-2/n
将X=an^2/[2(n^2+2)]代入上式可得；OF:OE=n^3/4
当n=2时，OF:OE=8/4=2

收起

因为AD垂直BC，OE垂直OB所以角BFA等于角CEO等于90度,因为角ECO加角DAC等于90度，角BAF加角DAC等于90度，所以角ECO等于角BAF,所以三角形ABF相似于三角形COE

1、
∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M
在三角形ABF中，作FP⊥AB...

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1、
∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M
在三角形ABF中，作FP⊥AB交于AB于P
在三角形AFO中，作FN⊥AO交于AO于N
则ΔBPF ≌ΔOME
∴ OE:OF=BF:OF
∵ ΔBPF∽ΔFNO
∴ BF:OF=PF:NO=PF:FN
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ PF:FN=AB:AC=1:2
∴ OF:OE=2
3、OF:OE=(n^3)/4
证明:
在三角形OEC中，作EM⊥OC，令EM=X，AB=a
作FN⊥AO交于AO于F
则CM=nX，EC=√(n^2+1)X
OM=OC-CM=nX/2-nX
BE=BC-CE=√(n^2+1)a-√(n^2+1)X
OB=√(AB^2+OA^2)=√(n^2+4)/2
由OE^2=BE^2-OB^2=OM^2+EM^2解得：
X=an^2/[2(n^2+2)]
∵ ΔABF∽ΔCEO
∴ OE:BF=OC:AB=EC:AF，可推得：BF:OF=AB:FN-1
BF=OE*EC:AF
∴ OE:OF=(AB:FN)*(AF:EC)-AF:EC
∵ AF:FN=BC:AC
∴ OE:OF=(BC:AC)*(AB:EC)-AF:EC=(AB:AC)*(BC:EC)-AF:EC
∵ AF:EC=AB:OC
∴ OE:OF=(AB:AC)*(BC:EC)-AB:OC
=(1:n)*(BC:EC)-2/n
∵ EC:BC=EM:AB=X:a
∴ OE:OF=(1:n)*(a/X)-2/n
将X=an^2/[2(n^2+2)]代入上式可得；OF:OE=n^3/4
当n=2时，OF:OE=8/4=2

收起

在三角形OEC中，作EM⊥OC，令EM=X，AB=a
作FN⊥AO交于AO于F
则CM=nX，EC=√(n^2+1)X
OM=OC-CM=nX/2-nX
BE=BC-CE=√(n^2+1)a-√(n^2+1)X
OB=√(AB^2+OA^2)=√(n^2+4)/2
由OE^2=BE^2-OB^2=OM^...

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在三角形OEC中，作EM⊥OC，令EM=X，AB=a
作FN⊥AO交于AO于F
则CM=nX，EC=√(n^2+1)X
OM=OC-CM=nX/2-nX
BE=BC-CE=√(n^2+1)a-√(n^2+1)X
OB=√(AB^2+OA^2)=√(n^2+4)/2
由OE^2=BE^2-OB^2=OM^2+EM^2解得：
X=an^2/[2(n^2+2)]
∵ ΔABF∽ΔCEO
∴ OE:BF=OC:AB=EC:AF，可推得：BF:OF=AB:FN-1
BF=OE*EC:AF
∴ OE:OF=(AB:FN)*(AF:EC)-AF:EC
∵ AF:FN=BC:AC
∴ OE:OF=(BC:AC)*(AB:EC)-AF:EC=(AB:AC)*(BC:EC)-AF:EC
∵ AF:EC=AB:OC
∴ OE:OF=(AB:AC)*(BC:EC)-AB:OC
=(1:n)*(BC:EC)-2/n
∵ EC:BC=EM:AB=X:a
∴ OE:OF=(1:n)*(a/X)-2/n
将X=an^2/[2(n^2+2)]代入上式可得；OF:OE=n^3/4
当n=2时，OF:OE=8/4=2

收起

1比3

1、
∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M
在三角形ABF中，作FP⊥AB...

全部展开

1、
∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M
在三角形ABF中，作FP⊥AB交于AB于P
在三角形AFO中，作FN⊥AO交于AO于N
则ΔBPF ≌ΔOME
∴ OE:OF=BF:OF
∵ ΔBPF∽ΔFNO
∴ BF:OF=PF:NO=PF:FN
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ PF:FN=AB:AC=1:2
∴ OF:OE=2
3、OF:OE=(n^3)/4
证明:
在三角形OEC中，作EM⊥OC，令EM=X，AB=a
作FN⊥AO交于AO于F
则CM=nX，EC=√(n^2+1)X
OM=OC-CM=nX/2-nX
BE=BC-CE=√(n^2+1)a-√(n^2+1)X
OB=√(AB^2+OA^2)=√(n^2+4)/2
由OE^2=BE^2-OB^2=OM^2+EM^2解得：
X=an^2/[2(n^2+2)]
∵ ΔABF∽ΔCEO
∴ OE:BF=OC:AB=EC:AF，可推得：BF:OF=AB:FN-1
BF=OE*EC:AF
∴ OE:OF=(AB:FN)*(AF:EC)-AF:EC
∵ AF:FN=BC:AC
∴ OE:OF=(BC:AC)*(AB:EC)-AF:EC=(AB:AC)*(BC:EC)-AF:EC
∵ AF:EC=AB:OC
∴ OE:OF=(AB:AC)*(BC:EC)-AB:OC
=(1:n)*(BC:EC)-2/n
∵ EC:BC=EM:AB=X:a
∴ OE:OF=(1:n)*(a/X)-2/n
将X=an^2/[2(n^2+2)]代入上式可得；OF:OE=n^3/4
当n=2时，OF:OE=8/4=2

收起

FAE

1、
∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
作EM⊥OC，交点为M,作FP⊥AB交于AB于P,作FN⊥AO交于AO于N

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1、
∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
作EM⊥OC，交点为M,作FP⊥AB交于AB于P,作FN⊥AO交于AO于N
则ΔBPF ≌ΔOME
∴ OE:OF=BF:OF
∵ ΔBPF∽ΔFNO
∴ BF:OF=PF:NO=PF:FN
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ PF:FN=AB:AC=1:2
∴ OF:OE=2
3、OF:OE=(n^3)/4
证明:
在三角形OEC中，作EM⊥OC，令EM=X，AB=a
作FN⊥AO交于AO于F
则CM=nX，EC=√(n^2+1)X
OM=OC-CM=nX/2-nX
BE=BC-CE=√(n^2+1)a-√(n^2+1)X
OB=√(AB^2+OA^2)=√(n^2+4)/2
由OE^2=BE^2-OB^2=OM^2+EM^2解得：
X=an^2/[2(n^2+2)]
∵ ΔABF∽ΔCEO
∴ OE:BF=OC:AB=EC:AF，可推得：BF:OF=AB:FN-1
BF=OE*EC:AF
∴ OE:OF=(AB:FN)*(AF:EC)-AF:EC
∵ AF:FN=BC:AC
∴ OE:OF=(BC:AC)*(AB:EC)-AF:EC=(AB:AC)*(BC:EC)-AF:EC
∵ AF:EC=AB:OC
∴ OE:OF=(AB:AC)*(BC:EC)-AB:OC
=(1:n)*(BC:EC)-2/n
∵ EC:BC=EM:AB=X:a
∴ OE:OF=(1:n)*(a/X)-2/n
将X=an^2/[2(n^2+2)]代入上式可得；OF:OE=n^3/4
当n=2时，OF:OE=8/4=2

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200分诱惑真大！大家都回答了，我就看看

有分就有答案！

根据你的题目画图解答如下（请点击图片看大图）：

证明：∵ AD⊥BC，AB⊥AC
∴ ∠BAD+∠DAC=90°=∠DAC+∠ACD
∴ ∠BAD=∠ACD
又 ∠ADB=∠FBD+90°=∠OEC
所以，△ABF∽△COE（AAA）
如图一所示，作FP⊥AB，FN⊥AC,EM⊥AC
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ Rt△APF∽Rt△ABC∽Rt△EMC
AC:AB=A...

全部展开

证明：∵ AD⊥BC，AB⊥AC
∴ ∠BAD+∠DAC=90°=∠DAC+∠ACD
∴ ∠BAD=∠ACD
又 ∠ADB=∠FBD+90°=∠OEC
所以，△ABF∽△COE（AAA）
如图一所示，作FP⊥AB，FN⊥AC,EM⊥AC
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ Rt△APF∽Rt△ABC∽Rt△EMC
AC:AB=AP:PF=MC:EM
又，AC=2AB，则AO=OC=AB
∠AOB=∠ABO=∠MOE=∠MEO=45°
∴ Rt△PNO∽Rt△OME
OF:OE=FN:EM
∵ BP=PF,OM=ME，且MC:EM=AP:PF=2
所以，PF=AP/2=AB/3，EM=MC/2=OC/3
∴ EM=PF=AB/3，又AN=PF,AP=FN
∴ FN=2AB/3，EM=OM=AB/3
∴ OF:OE=FN:EM=2

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