数学必休一知识点

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高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1.       集合的含义

2.       集合的中元素的三个特性：

(1)  元素的确定性如：世界上最高的山

(2)  元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)  元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)  用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)  集合的表示方法：列举法与描述法.

u       注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R

1）  列举法：{a,b,c……}

2）  描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3）  语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）  Venn图:

4、集合的分类：

(1)  有限集   含有有限个元素的集合

(2)  无限集   含有无限个元素的集合

(3)  空集     不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分,；（2）A与B是同一集合.

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：A=B  (5≥5,且5≤5,则5=5)

实例：设  A={x|x2-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集.AÍA

②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)

③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC

④ 如果AÍB  同时 BÍA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.

u       有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型

交   集

并   集

补   集

定    义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’）,即AB=｛x|xA,且xB｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’）,即AB ={x|xA,或xB})．

设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集（或余集）

S

记作,即

CSA=

韦

恩

图

示

S

性   

质

AA=A 

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

 ABB

AA=A

AΦ=A

AB=BA

ABA

ABB

(CuA)  (CuB)

= Cu (AB)

(CuA)  (CuB)

= Cu(AB)

A (CuA)=U

A (CuA)= Φ．

例题：

1.下列四组对象,能构成集合的是                                   （   ）

A某班所有高个子的学生  B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c }的真子集共有      个 

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是          .

4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是       

5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,

两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有      人.

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=               .

7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x),x∈A．其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

   (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零, 

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

u       相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .

(2) 画法

A、  描点法：

B、  图象变换法

常用变换方法有三种

1)       平移变换

2)       伸缩变换

3)       对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说,则应满足：

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

6.分段函数  

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数.

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1任取x1,x2∈D,且x1<x2；

2作差f(x1)－f(x2)；

3变形（通常是因式分解和配方）；

4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(－x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(－x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称；

2确定f(－x)与f(x)的关系；

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0,则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0,则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)       凑配法

2)       待定系数法

3)       换元法

4)       消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2利用图象求函数的最大（小）值

3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴        ⑵   

2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_  _  

3.若函数的定义域为,则函数的定义域是        

4.函数 ,若,则=           

5.求下列函数的值域：

⑴           ⑵ 

(3)               (4)

6.已知函数,求函数,的解析式

7.已知函数满足,则=             .

8.设是R上的奇函数,且当时,则当时=   

  在R上的解析式为                       

9.求下列函数的单调区间：

 ⑴   ⑵  ⑶

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*．

u       负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作.

当是奇数时,当是偶数时,

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定：

,

u       0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·                                          ；

（2）                                             ；

（3）                                           ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

定义域 R

定义域 R

值域y＞0

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0,1）

函数图象都过定点（0,1）

注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出：

（1）在[a,b]上,值域是或；

（2）若,则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数,总有；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作：（— 底数,— 真数,— 对数式）

说明：1注意底数的限制,且；

2 ；

3注意对数的书写格式．

两个重要对数：

1常用对数：以10为底的对数；

2自然对数：以无理数为底的对数的对数．

u       指数式与对数式的互化

幂值      真数

＝ N＝ b

底数

           指数              对数

（二）对数的运算性质

如果,且,那么：

1 ·＋；

2 －；

3  ．

注意：换底公式

  （,且；,且；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是（0,+∞）．

注意：1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如：, 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数．

2对数函数对底数的限制：,且．

2、对数函数的性质：

a>1

0<a<1

定义域x＞0

定义域x＞0

值域为R

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点（1,0）

函数图象都过定点（1,0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义并且图象都过点（1,1）；

（2）时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数．特别地,当时,幂函数的图象下凸；当时,幂函数的图象上凸；

（3）时,幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

例题：

1. 已知a>0,a0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是　　　　　　 (　 )

2.计算： ①         ;②=        ；=         ;

③  =        

3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为           

4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=       

5.已知,（1）求的定义域（2）求使的的取值范围

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点.

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标.

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

1（代数法）求方程的实数根；

2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

（1）△＞0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点．

（2）△＝0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点．

5.函数的模型