什么是欧拉线性质
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 13:47:13
什么是欧拉线性质什么是欧拉线性质什么是欧拉线性质欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：
什么是欧拉线性质
什么是欧拉线性质
什么是欧拉线性质
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.
如图,设D,E,F为△ABC三边的中点,则△DEF∽△ABC,且相似比K=.
设M为△ABC的重心,因为△DEF的三条中线是△ABC相应中线的一部分,所以M也是△DEF的重心.
又△ABC的外心O恰好是△DEF的垂心.
设H为△ABC的垂心,连MO,HM.
∵ △DEF∽△ABC,DO,AH和DM,AM恰好是△DEF和△ABC的两对对应线段.
∴.
又 ∠ODM=∠HAM,
∴ △ODM∽△HAM,∠OMD=∠HMA.
∵ AMD为一直线,
∴ O,M,H三点共线,且OM∶MH=1∶2.
设P为AH的中点,则PD的中点N即为九点圆的圆心.
由上面的证明,易知.
故PD的中点N也是OH的中点.
由此,三角形的外心O、重心M、九点圆圆心N、垂心H依次位于同一直线上,即在三角形的欧拉线上.