过B作圆O的切线 （1）求证：BF=EF如图所示,以BC为直径的圆O上的一点,AD垂直BC与点D,过B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB 的延长线相交于点P

过B作圆O的切线 （1）求证：BF=EF如图所示,以BC为直径的圆O上的一点,AD垂直BC与点D,过B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB 的延长线相交于点P
过B作圆O的切线 （1）求证：BF=EF
如图所示,以BC为直径的圆O上的一点,AD垂直BC与点D,过B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB 的延长线相交于点P.（1）求证：BF=EF
（2）求证：PA是圆O的切线
（3）若FG=BF,且半径长3根号2,求BD和FG的长度.
参考图如示

过B作圆O的切线 （1）求证：BF=EF如图所示,以BC为直径的圆O上的一点,AD垂直BC与点D,过B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB 的延长线相交于点P
证明：
在RtΔCGD和RtΔCFB中
GD=AD/2,BF⊥BC,AD⊥BC
∴ RtΔCGD∽RtΔCFB
(AD/2):BF=CD:BC,即BC:BF=2CD:AD.1)
过D作DH//FA交BF于H,则AD=FH
则 RtΔGHF∽RtΔCBF
BC:BF=BD:FH=BD:AD.2)
比较1）、2） 可得：BD=2CD
又 RtΔCBE∽RtΔCDA
则 AD:BE=CD:BC=CD:(BD+CD)=1:3
即 AD=BE/3
由2）知道,AD:BF=BD:BC=2CD:3CD=2:3,即AD=2BF/3
所以,BE=2BF,即EF=BF
（2）在平行四边形ADHF中,DH=FA
BH=BF-AD,FA^2=BD^2+BH^2=BD^2+(3AD/2-AD)^2=BD^2+AD^2/4
∵ 在RtΔABC中,AD^2=BD*CD=BD^2/2,即,BD^2=2AD^2
∴ FA^2=2AD^2+AD^2/4=9AD^2/4
FA=3AD/2=BF
∵ AF=BF,AO=BO,FO=FO
∴ ΔOBF≌ΔOAF
∴ ∠OBF=∠OAF=90°,OA⊥AF
即,PA是圆O的切线
（3）
若FG=BF,且半径长BO=AO=3√2
则 AD^2+BD^2=FG^2=9AD^2/4
BD=√5AD/2
又 AO^2-(BD-AO)^2=AD^2
(2AO-BD)BD=AD^2
√5AO-5AD/4=AD
AD=(4√5*3√2)/9=4√10/3
所以,BD=(√5/2)AD=2√50/3=10√2/3
FG=3AD/2=2√10

(1)∵BE是切线，AD⊥BC
∴AD‖BE
∴CA/CE=AG/EF=CG/CF=GD/BF
∵G是AD的中点
∴AG=DG
∴EF=BF
(2)连结OA、AB，则AF是直角△ABE的斜边上的中线
∴AF=BF
∴∠FAB=∠FBA
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵∠OBA+∠ABF=90°
∴...

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(1)∵BE是切线，AD⊥BC
∴AD‖BE
∴CA/CE=AG/EF=CG/CF=GD/BF
∵G是AD的中点
∴AG=DG
∴EF=BF
(2)连结OA、AB，则AF是直角△ABE的斜边上的中线
∴AF=BF
∴∠FAB=∠FBA
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵∠OBA+∠ABF=90°
∴∠OAB+∠BAF=90°
即∠OAF=90°
∴PA是圆O的切线
(3)过F做FM⊥AG,交GA的延长线于M,
∵FG=BF
又∵FG=AF
∴FM是AG的垂直平分线
∴AM=MG=AG/2=DG/2
由已知可知四边形FMDB是矩形
∴BD=FM
∵FM‖CD
∴FM/CD=MG/DG=1/2
∴BD/(6√2-BD)=1/2
解得BD=2√2
由射影定理得AD²=BD×CD
∴AD²=2√2×4√2=16
∴AD=4
∴MD=3AD/4=3
∴FB=MD=3
你的图画得不标准，这不利于你分析问题。

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Rt△CDG∽Rt△CBF
Rt△CDA∽Rt△CBE
∴ DG:BF=CD:CB
DA:BE=CD:CB=2DG:BE
∴ BE=2BF,即BF=FE
又 BA⊥AE,直角三角形中
AF是斜边的中线, ∴ AF=BF
∵ AO=BO,FO=FO
∴ △OBF≌△OAF
∴ ∠FAO=90°,即AF⊥AO
...

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Rt△CDG∽Rt△CBF
Rt△CDA∽Rt△CBE
∴ DG:BF=CD:CB
DA:BE=CD:CB=2DG:BE
∴ BE=2BF,即BF=FE
又 BA⊥AE,直角三角形中
AF是斜边的中线, ∴ AF=BF
∵ AO=BO,FO=FO
∴ △OBF≌△OAF
∴ ∠FAO=90°,即AF⊥AO
∴ AP是圆的切线
(2) 若FG=BF,圆的半径是3√2,即OB=3√2。
过F做FN⊥AG,交点为N
则因，FG=AF,FN垂直平分AG
分别过A、G作AX//OB,GY//OB,则FX=FY
∵ BF=EF
则，EF-XF=BF-FY=DG=AG=XY
∴ AD:BE=2/3
且∵ EX=DG,BD=AX
∴ Rt△AXE≌Rt△BDG
∴ AE=BG,四边形AGBE是等腰梯形
∴ EC=AB
在Rt△EBC中，AD:BE=CD:CB=(2OB-BD):2OB=2:3
∴ BD=2OB/3=2√2
∴ OD=√2,AD=√(18-2)=4
FG=√[BD^2+(AD/4)^2]=√(8+1)=3
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证明：(1) 连接FO
G为AD中点，F亦即BE中点
根据题意
Rt△CDG∽Rt△CBF
Rt△CDA∽Rt△CBE
∴ DG:BF=CD:CB
DA:BE=CD:CB=2DG:BE
∴ BE=2BF,即BF=FE
又 BA⊥AE,直角三角形中
AF是斜边的中线, ∴ AF=BF
∵ AO=BO,FO=FO

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证明：(1) 连接FO
G为AD中点，F亦即BE中点
根据题意
Rt△CDG∽Rt△CBF
Rt△CDA∽Rt△CBE
∴ DG:BF=CD:CB
DA:BE=CD:CB=2DG:BE
∴ BE=2BF,即BF=FE
又 BA⊥AE,直角三角形中
AF是斜边的中线, ∴ AF=BF
∵ AO=BO,FO=FO
∴ △OBF≌△OAF
∴ ∠FAO=90°,即AF⊥AO
∴ AP是圆的切线
(2) 若FG=BF,圆的半径是3√2,即OB=3√2。
过F做FN⊥AG,交点为N
则因，FG=AF,FN垂直平分AG
分别过A、G作AX//OB,GY//OB,则FX=FY
∵ BF=EF
则，EF-XF=BF-FY=DG=AG=XY
∴ AD:BE=2/3
且∵ EX=DG,BD=AX
∴ Rt△AXE≌Rt△BDG
∴ AE=BG,四边形AGBE是等腰梯形
∴ EC=AB
在Rt△EBC中，AD:BE=CD:CB=(2OB-BD):2OB=2:3
∴ BD=2OB/3=2√2
∴ OD=√2,AD=√(18-2)=4
FG=√[BD^2+(AD/4)^2]=√(8+1)=3

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