在矩形ABCD中,F在AB延长线上,BF=AC,E是DF上一点,∠AEC=90度,求证：∠DEC=∠DFC+∠ACE.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 22:25:05
在矩形ABCD中,F在AB延长线上,BF=AC,E是DF上一点,∠AEC=90度,求证：∠DEC=∠DFC+∠ACE.
在矩形ABCD中,F在AB延长线上,BF=AC,E是DF上一点,∠AEC=90度,求证：∠DEC=∠DFC+∠ACE.
在矩形ABCD中,F在AB延长线上,BF=AC,E是DF上一点,∠AEC=90度,求证：∠DEC=∠DFC+∠ACE.
证明：将对角线AC、BD的交点设为O,连接OE
∵矩形ABCD
∴OA＝OB＝OC＝OD,AC＝BD,O为AC的中点
∵∠AEC=90
∴OE＝OA＝OC （直角三角形中线特性）
∴OE＝OD
∴∠ODE＝∠OED,∠OEC＝∠ACE
∴∠DEC＝∠OED+∠OEC＝∠ODE+∠ACE
∵BF＝AC
∴BF＝BD
∴∠DFC＝∠ODE
∴∠DEC＝∠DFC+∠ACE
设AC与BD交于点O
连接OE
由矩形的性质可得：OA=OC=OB=OD=1/2AC=1/2BD
在Rt∆AEC中，OA=OC
所以 OE=1/2AC 即OE=OA=OC=OB=OD
连接BE
因为 OE=OB OE=OD
所以 ∠OBE=∠OEB ∠OED=∠ODE
在∆BED中 ∠OBE...
全部展开
设AC与BD交于点O
连接OE
由矩形的性质可得：OA=OC=OB=OD=1/2AC=1/2BD
在Rt∆AEC中，OA=OC
所以 OE=1/2AC 即OE=OA=OC=OB=OD
连接BE
因为 OE=OB OE=OD
所以 ∠OBE=∠OEB ∠OED=∠ODE
在∆BED中 ∠OBE+∠BED+∠ODE=180度
所以 ∠OBE+（∠OEB +∠OED）+∠ODE=180度
2（∠OEB +∠OED）=180度
即 2∠BED=180度
即 ∠BED=90度 即BE⊥DF
在∆BDF中 BD=BF 且 BE⊥DF
所以 BE=EF
因为 BE=EF 且 OB=OD
所以 OE∥BF
所以 ∠OEC =∠ECF
因为 OE=OC
所以 ∠OEC =∠OCE
所以 ∠ECF =∠OCE
因为 ∠DEC=∠DFC+∠ECF 且 ∠ECF =∠OCE
所以 ∠DEC=∠DFC+∠OCE
即 ∠DEC=∠DFC+∠ACE
收起
稍等，我重新编辑一下。 设AC与BD的交点为G，连续GE， ∵∠AEC=90°,即AEC为直角三角形， ∴GE=AG=GD=GC ∴△GDE与△GEC为等腰△，∠EDG=∠DEG，∠GEC=∠GCE=∠ACE 又BF=AC=BD ∴△BDF为等腰三角形，∠DFC=∠FDB, 故∠DEC=∠DEG+∠GEC=∠EDG+∠ACE=∠DFC+∠ACE
证明： 设AC与BD的交点为O 连接OE ∵ABCD是矩形 ∴AC=BD，OB=OD ∵BD=AC=BF，∠AEC=90° ∴OE=1/2BD=1/2AC=OC=OD ∴∠OED=∠ODE=∠F ∴OE∥BF ∴∠ECF=∠OEC=∠OCE ∴OE=OC ∴∠OEC=∠OCE ∴∠DEC=∠F+∠FCE=∠F+∠ACE