正四面体内切球和外接球体积比

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/22 12:58:59

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正四面体内切球和外接球体积比

正四面体内切球和外接球体积比
假设：正四面体的边长为√2a,则这个正四面体可以看成是由边长为a的正方体切割出来的.
1、正四面体的外接球半径R就是正方体对角线的2分之1,则R=(1/2)√3a,
2、正四面体的内切球半径为r,则利用体积,得：
(1/3)a³=(1/3)×[4×(√3/4)×(2a²)]×r
得：r=[1/(2√3)]a
则半径之比是1：3,则体积之比是1：27

1:27

由正四面体体心连接四个顶点，可知四个小四棱锥体积相等。且体心在三棱锥各底面高的交点上。内切球圆心半径就是小四棱锥高，外接圆半径是小四棱锥侧棱。由体积相等可知，4H小=H大；可知R大=3R小，体积公式消掉后就是R的立方，体积比1：27

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