解析几何的最值问题2不是只要第2，是我发了两份
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 11:22:40
解析几何的最值问题2不是只要第2，是我发了两份
解析几何的最值问题2
不是只要第2，是我发了两份
解析几何的最值问题2不是只要第2，是我发了两份
1.设平行直线系
2x-y+s=0
则y=2x+s
显然,当s尽量小且与椭圆相切时,切点就是所求.此时切点到直线2x-y+10=0的距离就是两直线距离.
将直线y=2x+s与椭圆方程联立,有
40x^2+36sx+9s^2-36=0
其判别式=1296s^2-160(9s^2-36)=0
解得s等于正负2倍根下10
肯定要取-2根10了,小啊……
然后两直线的距离就好求了.
结果是2倍根2+2倍根5
2.设抛物线上一点P（x,y）
则y=x^2
P到直线的距离d=|2x-y-4|/根5 ……这里只使用平面几何的初步知识,很显然
然后代入y=x^2
d=|-x^2+2x-4|/根5
然后将绝对值符号内的二次函数配方
-(x-1)^2-3
绝对值内函数的最大值为-3
意味着它只能比-3小或等于-3,即其绝对值一定不小于3
所以x=1时,d最小,最小值是3/5倍的根下5
3.可能是有问题,因为椭圆过点（0,正负2）在这两个点的那一个y/x都是无穷大,所以没有最大值
4.1）转换成几何问题y/x=(y-0)/(x-0)就是（x,y）和原点连线的斜率.
根据圆的特点,全部在第一象限
可知过原点的圆的切线斜率就是y/x的最值
设y=kx
则代入圆方程：(k^2+1)x^2-(4k+6)x+12=0
判别式=0
所以列出关于k的一元二次方程结果是0.25*（3正负根3）
所以y/x最小是（3-根3）/4,最大是(3+根3）/4
2）x^2+y^2是（x,y）到原点的距离的平方
设圆心C
做直线OC交圆于AB
其中A在OC中间
则OA^2就是所求的最小值,OB^2就是最大值
原因：设一点P在圆上异于AB的点
连接PO、PC
则可见OA=OC-r
但三角形OPC中,OP>OC-r=OA所以OA最小,x^2+y^2的最小值：14-2倍根13
同时OB=OC+r
但三角形OPB中,OP0的情况
将直线方程代入椭圆方程
(k^2+1/9)*x^2-1=0
|x1-x2|=2*根下（k^2+1)/根下（k^2 +1/9)
然后F1到AB的距离d=|2倍根2 *k|/根下(k^2 +1)
所以S=0.5*【2*根下（k^2+1)/根下（k^2 +1/9)】*d
整理得
S=2倍根2 *根下[1-(1/9)/(k^2 +1/9)]
根号内的式子随着k的增大而增大（这里一定要考虑清楚,后面还有一种考虑思想）
所以斜率存在时S不存在最大值
所以最大值就是2倍根2
另一种思路（自认为比上一种严密）
斜率存在时,即使S不存在最大值,也会无限接近一个数,即极限.
这个数是多少呢?
可以看出,当k增大至很大时,(1/9)/(k^2 +1/9)的分母会非常非常大,从而使其接近0
所以根下的结果无限接近1
S无限接近2倍根2
那为什么可以取到2倍根2呢?
因为直线不存在斜率是因为Δy/Δx中的Δx=0使得斜率没有意义,而没有意义的含义就是斜率无限大（或无限小）
回到刚才的那个问题,当斜率大到无法形容的时候,直线就是y轴,面积就是2倍根2.
比较纠结,毕竟本人是高中生,能力有限,献丑了.