在下列方程组中,λ为何值时,方程组有解或无解?在有解的情况下,求出方程组的全部解.λX1+X2+X3=1X1+λX2+X3=λX1+X2+λX3=λ^2书本上的答案是X2=-λ+（1+λ）^2/2+λ,X1和X3和书上的一样。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 12:04:55
在下列方程组中,λ为何值时,方程组有解或无解?在有解的情况下,求出方程组的全部解.λX1+X2+X3=1X1+λX2+X3=λX1+X2+λX3=λ^2书本上的答案是X2=-λ+（1+λ）^2/2+λ,X1和X3和书上的一样。
在下列方程组中,λ为何值时,方程组有解或无解?在有解的情况下,求出方程组的全部解.
λX1+X2+X3=1
X1+λX2+X3=λ
X1+X2+λX3=λ^2
书本上的答案是X2=-λ+（1+λ）^2/2+λ,X1和X3和书上的一样。
在下列方程组中,λ为何值时,方程组有解或无解?在有解的情况下,求出方程组的全部解.λX1+X2+X3=1X1+λX2+X3=λX1+X2+λX3=λ^2书本上的答案是X2=-λ+（1+λ）^2/2+λ,X1和X3和书上的一样。
经过多次化简,得矩阵(λ不等于0)：
1 1/λ 1/λ 1/λ
0 1-λ^2 1-λ 1-λ^2
0 0 λ^2-2+λ λ^3+λ^2-λ-1
当λ=0时X1=-0.5,X2=X3=0.5；当λ不等于0,
X3(λ+2)(λ-1)=(λ+1)^2(λ-1),所以当λ=1或者-2时,方程组无解.当λ不等于1或-2,X3=(λ+1)^2/(λ+2),又有X2(1+λ)(1-λ)+X3(1-λ)=(1+λ)(1-λ)故当λ=-1时X2不存在,方程组无解.当λ不等于-1时,X2=1/(λ+2).
λX1+X2+X3=1,所以X1=-(λ+1)/(λ+2)；综合一下,λ=0时也符合X1,X2和X3的值.
总之,当λ不等于1,-2,-1时方程组有解,分别是
X1=-(λ+1)/(λ+2)
X2=1/(λ+2)
X3=(λ+1)^2/(λ+2)
够清晰了吧,还有我不是高手.
列出增广矩阵
λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2
交换第1 第2行
1 λ 1 λ
λ 1 1 1
1 1 λ λ^2
交换第1 行分别乘-λ，-1 加到第2，第3行
1 λ ...
全部展开
列出增广矩阵
λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2
交换第1 第2行
1 λ 1 λ
λ 1 1 1
1 1 λ λ^2
交换第1 行分别乘-λ，-1 加到第2，第3行
1 λ 1 λ
0 1-λ^2 1-λ 1-λ^2
0 1-λ λ-1 λ^2-λ
交换第2 第3行
1 λ 1 λ
0 1-λ λ-1 λ^2-λ
0 1-λ^2 1-λ 1-λ^2
第2行乘以-(λ+1)加第三行
1 λ 1 λ
0 1-λ λ-1 λ(λ-1)
0 0 (1-λ)(λ+2) -(λ-1)(λ+1)^2
有解充要条件是 系数矩阵的秩 = 增广矩阵的秩
所以1：
当λ不为1，也不-2时，
两个秩都是3，方程有唯一解
(x1,x2,x3)
=( 1- λ-(λ+1)^2/(λ+2), λ-(λ+1)^2/(λ+2), (λ+1)^2/(λ+2))
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
所以解为 x1= 1-x2 -x3 x2,x3为自由变量
若λ=-2，发现两个矩阵的秩不相等，所以无解
收起