数列综合题f(x)=2^x+1/2^xf(以2为底An的对数)=-2n求：(1)An=?(2)证明该数列是递减数列
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 23:33:46
数列综合题f(x)=2^x+1/2^xf(以2为底An的对数)=-2n求：(1)An=?(2)证明该数列是递减数列
数列综合题
f(x)=2^x+1/2^x
f(以2为底An的对数)=-2n
求：(1)An=?
(2)证明该数列是递减数列
数列综合题f(x)=2^x+1/2^xf(以2为底An的对数)=-2n求：(1)An=?(2)证明该数列是递减数列
f(x)=2^x+2^(-x)
f[log2(An)]=2^log2(An)+2^[-log2(An)]=-2n
An+1/An=-2n
(An)^2+2n*(An)+1=0
An=[-2n±√(4n^2-4)]/2=-n±√(n^2-1)
An可以做真数
所以An>0
所以An=√(n^2-1)-n
令g(x)=√(x^2-1)-x
且x>=1
则令a>b>=1
则g(a)-g(b)=√(a^2-1)-a-√(b^2-1)+b
=[√(a^2-1)-√(b^2-1)][√(a^2-1)+√(b^2-1)]/[√(a^2-1)+√(b^2-1)]-a+b
=(a^2-b^2)/[√(a^2-1)+√(b^2-1)]-(a-b)
=(a-b){(a+b)/[√(a^2-1)+√(b^2-1)]-1}
=(a-b){a+b-√(a^2-1)-√(b^2-1)}/[√(a^2-1)+√(b^2-1)]
因为a>b,所以a-b>0
又a-√(a^2-1)>0
b-√(b^2-1)>0
√(a^2-1)+√(b^2-1)>0
所以g(a)-g(b)>0
所以g(x)当x>=1时是增函数
所以An=√(n^2-1)-n是递增数列,不是递减
f(x)=2^x+1/2^x
f(以2为底An的对数)=An+1/An=-2n
An^2+2n*An+1=0
(An+n)^2=n^2-1
An= √(n^2-1)-n
2)
设f(n)=√(n^2-1)-n=-1/(√(n^2-1)+n)
因为(√(n^2-1)+n)单调增
所以，1/(√(n^2-1)+n)单调减
-1/(√(n^2-1)+n)单调增
所以，该数列是递增数列