求教一个积分问题,下面的积分是怎么计算出来的?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 03:46:47
求教一个积分问题,下面的积分是怎么计算出来的?
求教一个积分问题,下面的积分是怎么计算出来的?
求教一个积分问题,下面的积分是怎么计算出来的?
需要利用二重积分来证明.
[∫e^(-t^2)dt]^2 = ∫e^(-x^2)dx∫e^(-y^2)dy
=∫∫e^-(x^2+y^2)dxdy
=∫∫e^-r^2*rdrdθ
=∫dθ∫e^(-r^2)rdr
=2π * (-1/2)∫e^(-r^2)d(-r^2)
=-π * [e^(-∞) - e^0]
=π
所以,∫e^(-t^2)dt = √π
首先承认一下您所给出的方法一是正确的 不过我觉得做变换应该来得简洁一些更好 为此我们可以令u＝x＋y，v＝y 原积分区域D＝｛（x，y）｜1≤x＋y≤2，xy≥0｝ 转化为E＝｛（u，v）｜1≤u≤2，0≤v≤u｝比较方便解答 当然您的第一种解答所用的换元法和凑微分也很妙 下面我们来说明您提供的方法二的不当之处 1．您令x＝u＾240y＝v＾2sw您应该给出规定 比如规定u＆gt；0，v＆gt；0...
全部展开
首先承认一下您所给出的方法一是正确的 不过我觉得做变换应该来得简洁一些更好 为此我们可以令u＝x＋y，v＝y 原积分区域D＝｛（x，y）｜1≤x＋y≤2，xy≥0｝ 转化为E＝｛（u，v）｜1≤u≤2，0≤v≤u｝比较方便解答 当然您的第一种解答所用的换元法和凑微分也很妙 下面我们来说明您提供的方法二的不当之处 1．您令x＝u＾240y＝v＾2sw您应该给出规定 比如规定u＆gt；0，v＆gt；0，这样就会避免无缘无故扩大积分的范围 注意：您一定要保证x（u），y（v）是单调地取值，这样保证一一对应 于是您的计算就无缘无故比第一种放大了4倍 2．您在做极坐标变换时犯了一个错误 那就是1≤ρ≤√2 而不是1≤ρ≤2，这样结果又无缘无故扩大了5倍 所以正确值应该是（3＆＃47；2）＊（e－1）
收起