.是否存在X使得tanx+根号3与cotx+根号3均为有理数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 23:32:05
.是否存在X使得tanx+根号3与cotx+根号3均为有理数.
.是否存在X使得tanx+根号3与cotx+根号3均为有理数.
.是否存在X使得tanx+根号3与cotx+根号3均为有理数.
令tanx=a-根号3,a为有理数,则cotx＝b-根号3,b为有理数,则（a-根号3）（b-根号3）=1
ab-(a+b)根号3+3=1,即a=-b,ab=-2,得a=-b=正负根号2,与前提a,b是有理数矛盾,所以不存在.
假设存在这样的x
使得tanx+√3=p/q,cotx+√3=r/s(这里p和q,r和s是两对互素的整数)
则tanx=p/q-√3,cotx=r/s-√3
由tanx*cotx=1
(p/q-√3)*(r/s-√3)=1
pr/qs+2=√3(p/q+r/s)
若p=0,r=0则左边=2右边=0，矛盾
若p,r不都=0则左边为有理数，右边为...
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假设存在这样的x
使得tanx+√3=p/q,cotx+√3=r/s(这里p和q,r和s是两对互素的整数)
则tanx=p/q-√3,cotx=r/s-√3
由tanx*cotx=1
(p/q-√3)*(r/s-√3)=1
pr/qs+2=√3(p/q+r/s)
若p=0,r=0则左边=2右边=0，矛盾
若p,r不都=0则左边为有理数，右边为无理数，矛盾
综上，不存在这样的x。
收起
不存在，证明如下
假设这样的x存在，
tanx+√3=p/q,（p,q为互素的整数）
1/tanx+√3=m/n （m,n为互素的整数）
由第一个式子，tanx=p/q-√3，代入第二个式子中，可以求得
√3=(2nq+mp)/(mq+np)
右端是一个分数为有理数，而√3为无理数，故矛盾
不存在。
命题等价于是否存在不为0的 x，使 x+√3 和 1/x +√3 均为 有理数。
假设存在，这意味着x=a-√3，其中a为有理数，故1/x=(a+√3)/(a^2+3)，也应为b-√3形式，其中b为有理数，矛盾。故不存在。