求一阶微分方程(x^2)y′+xy=y^2的通解,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 20:10:45
求一阶微分方程(x^2)y′+xy=y^2的通解,
求一阶微分方程(x^2)y′+xy=y^2的通解,
求一阶微分方程(x^2)y′+xy=y^2的通解,
解法一：设t=y/x,则y=xt,y'=xt'+t
代入原方程得xt'+t+t=t²
==>xt'=t²-2t
==>dt/(t²-2t)=dx/x
==>[1/(t-2)-1/t]dt=2dx/x
==>ln│t-2│-ln│t│=2ln│x│+ln│-C│ (C是积分常数)
==>(t-2)/t=-Cx²
==>-2/t=-Cx²-1
==>t=2/(1+Cx²)
==>y/x=2/(1+Cx²)
==>y=2x/(1+Cx²)
故原微分方程的通解是y=2x/(1+Cx²) (C是积分常数).
解法二：设t=1/y,则y=1/t,y'=-t'/t²
代入原方程得-x²t'/t²+x/t=1/t²
==>t'=t/x-1/x².(1)
∵齐次方程t'=t/x的通解是t=Cx (C是积分常数)
∴设微分方程(1)的解为t=C(x)x (C(x)表示关于x的函数)
∵t'=C'(x)x+C(x)
代入(1)得C'(x)x+C(x)=C(x)-1/x²
==>C'(x)x=-1/x²
==>C'(x)=-1/x³
==>C(x)=1/(2x²)+C (C是积分常数)
==>t=[1/(2x²)+C]x=1/(2x)+Cx=(1+Cx²)/(2x)
∴微分方程(1)的通解是t=(1+Cx²)/(2x) (C是积分常数)
==>1/y=(1+Cx²)/(2x)
==>y=2x/(1+Cx²)
故原微分方程的通解是y=2x/(1+Cx²) (C是积分常数).
(x^2)y′+xy=y^2
两边除以x^2得
y'+y/x=(y/x)^2 （1）
令y/x=p
y=px
y'=p'x+p
反代（1）得
p'x+p+p=p^2
p'x=(p^2-p)
dp/(p^2-p)=dx/x
[1/(p-1)-1/p]dp=dx/x
两边积分得
ln(p-1)-lnp=l...
全部展开
(x^2)y′+xy=y^2
两边除以x^2得
y'+y/x=(y/x)^2 （1）
令y/x=p
y=px
y'=p'x+p
反代（1）得
p'x+p+p=p^2
p'x=(p^2-p)
dp/(p^2-p)=dx/x
[1/(p-1)-1/p]dp=dx/x
两边积分得
ln(p-1)-lnp=lnx+C1
ln[(p-1)/p]=lnx+C1
取指数得
(p-1)/p=Cx
(y/x-1)/(y/x)=Cx
(y-x)/y=Cx
y-x=Cxy
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