在三角形ABC中,已知b的平方+c的平方=a的平方+bc.若sinBsinC=3/4,请判断三角形的形状.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 00:58:12
在三角形ABC中,已知b的平方+c的平方=a的平方+bc.若sinBsinC=3/4,请判断三角形的形状.
在三角形ABC中,已知b的平方+c的平方=a的平方+bc.若sinBsinC=3/4,请判断三角形的形状.
在三角形ABC中,已知b的平方+c的平方=a的平方+bc.若sinBsinC=3/4,请判断三角形的形状.
余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
题目是
a^2=b^2+c^2-bc
所以我们得到cosA=0.5
所以A=60度
sinBsinC=3/4=0.75
可以得到
sinB>3/4
sinC>3/4
(因为正弦值是不可能大于1的,而由第一个条件我们知道这不是个直角三角形,所以也不存在等于1,任何正数乘以一个正小数后,得数都比原来的数小)
而sin30°=0.5
所以B>30° 且C>30° 但是他们没有一个是钝角,因为如果一个是钝角,而A=60°,那么另外一个就必然少于30°,不符合上面的结论,所以这两个都是锐角.
所以这是一个锐角三角形,并且角A=60°
b^2+c^2=a^2+bc ①
又有b^2+c^2=a^2+2bc*cosA ②
由①②可得bc=2bc*cosA 所以cosA＝1/2 角A＝60度
设AB上的高为hc AC上的高为hb
则有hb/a=sinC hc/a=sinB
所以hb*hc=a^2*sinB*sinC=3/4*a^2 ③
又有hb/c=hc/b...
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b^2+c^2=a^2+bc ①
又有b^2+c^2=a^2+2bc*cosA ②
由①②可得bc=2bc*cosA 所以cosA＝1/2 角A＝60度
设AB上的高为hc AC上的高为hb
则有hb/a=sinC hc/a=sinB
所以hb*hc=a^2*sinB*sinC=3/4*a^2 ③
又有hb/c=hc/b=sinB=sin60度
所以hb*hc=bc*sin60度^2=3/4*bc ④
由③④可得a^2=bc ⑤
把⑤代入①可得b^2+c^2=bc+bc=2bc
所以 b^2+c^2-2bc=0 所以(b-c)^2=0 所以b=c ⑥
把⑥代入⑤可得a=b=c 所以三角形ABC是等边三角形
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