如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于D ,AD=9、BD=4以C为圆心、CD为半径的圆与⊙O相交于P、Q两点,弦PQ交CD于E,则PE•EQ的值是（ ）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 06:09:04
如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于D ,AD=9、BD=4以C为圆心、CD为半径的圆与⊙O相交于P、Q两点,弦PQ交CD于E,则PE•EQ的值是（ ）
如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于D ,AD=9、BD=4
以C为圆心、CD为半径的圆与⊙O相交于P、Q两点,弦PQ交CD于E,则PE•EQ的值是（ ）
如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于D ,AD=9、BD=4以C为圆心、CD为半径的圆与⊙O相交于P、Q两点,弦PQ交CD于E,则PE•EQ的值是（ ）
延长CD交⊙O于M、延长DC交⊙C于N.
∵AB是⊙O的直径、AB⊥CM,∴DM＝CD.
显然有：CN＝CD.
对于⊙O来说,由相交弦定理,有：PE×EQ＝CE×EM＝CE×（DM＋DE）＝CE×（CD＋DE）.
对于⊙C来说,由相交弦定理,有：PE×EQ＝DE×EN＝DE×（CE＋CN）＝DE×（CE＋CD）.
∴CE×（CD＋DE）＝DE×（CE＋CD）, ∴CE×CD＋CE×DE＝DE×CE＋DE×CD,
∴CE＝DE, ∴CE＝CD/2、EM＝DE＋EM＝CD/2＋CD＝3CD/2.
∴PE×EQ＝CE×EM＝（CD/2）×（3CD/2）＝（3/4）CD^2.
∵AB是⊙O的直径、CD⊥AB, ∴由圆幂定理,有：CD^2＝AD×BD＝9×4＝36.
∴PE×EQ＝（3/4）CD^2＝（3/4）×36＝27.
延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2=AD•DB，AD=9，BD=4，
∴CD=6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ=DE•EM=CE•EN，
设CE=x，则DE=6-x，
则（6-x）（x+6）=x（6-x+6），
解得x=3．
所以，CE=3，DE=6-3=3，E...
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延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2=AD•DB，AD=9，BD=4，
∴CD=6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ=DE•EM=CE•EN，
设CE=x，则DE=6-x，
则（6-x）（x+6）=x（6-x+6），
解得x=3．
所以，CE=3，DE=6-3=3，EM=6+3=9．
所以PE•EQ=3×9=27．
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