根式方程解方程 三次根号下（x+1）+三次根号下（x+2）+三次根号下（x+3）=0没过程没有分

根式方程解方程 三次根号下（x+1）+三次根号下（x+2）+三次根号下（x+3）=0没过程没有分
根式方程
解方程 三次根号下（x+1）+三次根号下（x+2）+三次根号下（x+3）=0
没过程没有分

根式方程解方程 三次根号下（x+1）+三次根号下（x+2）+三次根号下（x+3）=0没过程没有分
设三次根号下（x+2)=y
x+2=y^3
x+1=y^3-1
x+3=y^3+1
3y^3=0
y^3=0
y=0
x=-2

想一下吧 x=负2

设三次根号下（x+2)=y
x+2=y^3
x+1=y^3-1
x+3=y^3+1
3y^3=0
y^3=0
y=0
x=-2

显然x=-2是一个根
由幂函数图像
y=三次根号下x在正定义域R中是增函数
则三次根号下(x+1)是把三次根号下x向左移了一个单位
所以也是增函数
同理，三次根号下(x+2),三次根号下(x+3)是把三次根号下x向左移2个3个单位
也是增函数
所以f(x)=三次根号下（x+1）+三次根号下（x+2）+三次根号下（x+3）是增函数
f(...

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显然x=-2是一个根
由幂函数图像
y=三次根号下x在正定义域R中是增函数
则三次根号下(x+1)是把三次根号下x向左移了一个单位
所以也是增函数
同理，三次根号下(x+2),三次根号下(x+3)是把三次根号下x向左移2个3个单位
也是增函数
所以f(x)=三次根号下（x+1）+三次根号下（x+2）+三次根号下（x+3）是增函数
f(-2)=0
则x<-2,f(x)<0
x>-2,f(x)>0
所以只有x=-2时，f(x)=0
所以x=-2是唯一的解
所以x=-2

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3根号（x+1）+3根号（x+3）=0
3根号（x+2）=0
x=-2
能给分吗
谢谢

两种办法:
1.F(x)=(x+1)^(1/3)+(x+2)^(1/3)+(x+3)^(1/3)是增函数
因为x=-2是一个解，F(x)=0由单调性最多只有一个解
所以方程的解x=-2
2.代数方法:
换元,令(x+1)^(1/3)=a,(x+2)^(1/3)=b,(x+3)^(1/3)=c
那么
x+1=a^3
x+2=b^3

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两种办法:
1.F(x)=(x+1)^(1/3)+(x+2)^(1/3)+(x+3)^(1/3)是增函数
因为x=-2是一个解，F(x)=0由单调性最多只有一个解
所以方程的解x=-2
2.代数方法:
换元,令(x+1)^(1/3)=a,(x+2)^(1/3)=b,(x+3)^(1/3)=c
那么
x+1=a^3
x+2=b^3
x+3=c^3
并且a+b+c=0
a^3+c^3=2(x+2)=2b^3
用立方和公式:
a^3+c^3=(a+c)(a^2-ac+c^2)=2b^3
-b(a^2-ac+c^2)=2b^3
讨论:
(1)若b=0,那么x=-2,是方程的一个解
(2)若b≠0，则a+c=-b≠0,a,c不同时为0
那就有a^2-ac+c^2=-2b^2=-2(a+c)^2=-2a^2-4ac-2c^2
即a^2+c^2+ac=0
即(a+1/2c)^2+3/4*c^2=0
若a^2+c^+ac=0,那么
a+1/2c=0
3/4*c^2=0
解得a=c=0
但a,c不同时为0,矛盾,a^2+c^2+ac恒>0,这种情况不可能成立
综合(1),(2),方程只有一个解x=-2

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