初等数学几何题 关于三角形在三角形中，三角分别为A,B,C，对边分别为a,b,c。已知角A=3角B，求证： c^2=1/b*(a-b)*(a^2-b^2) （尽量不要用三角函数）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 15:21:40
初等数学几何题 关于三角形在三角形中，三角分别为A,B,C，对边分别为a,b,c。已知角A=3角B，求证： c^2=1/b*(a-b)*(a^2-b^2) （尽量不要用三角函数）
初等数学几何题 关于三角形
在三角形中，三角分别为A,B,C，对边分别为a,b,c。
已知角A=3角B，
求证： c^2=1/b*(a-b)*(a^2-b^2)
（尽量不要用三角函数）
初等数学几何题 关于三角形在三角形中，三角分别为A,B,C，对边分别为a,b,c。已知角A=3角B，求证： c^2=1/b*(a-b)*(a^2-b^2) （尽量不要用三角函数）
作∠A的三等分线AM、AN,（MB＜NB）,则∠B=∠BAM=∠CAN=∠MAN
所以△BAN∽△AMN……①,△ANC∽△BAC……②
由②b^2=NC*a,所以NC=b^2/a,BN=a-b^2/a,又AN/NC=c/b,所以AN=bc/a
由①AN^2=MN*BN,所以MN=（bc）^2/（a(a^2-b^2))
所以MB=（a^2-b^2)/a-(bc)^2/(a(a^2-b^2))
又由角平分线定理,BM/MN=AN/AB,所以BM=bc^2/(a^2-b^2)
所以（a^2-b^2)/a-(bc)^2/(a(a^2-b^2))=bc^2/(a^2-b^2)
化简得c^2=1/b*(a-b)*(a^2-b^2)
证明：在三角形ABC中，角A，B，C的对边a,b,c，
所以sin`A/sinC = a/c，sinB/sinC = b/c
因此（a^2-b^2)/c^2=[sin^2(A)-sin^2(B)]/sin^2(C)
=[1/2(1-cos2A)-1/2（1-cos2B)]/sin^2(C)
=1/2(cos2B-cos2A)/sin^2(C)
=1...
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证明：在三角形ABC中，角A，B，C的对边a,b,c，
所以sin`A/sinC = a/c，sinB/sinC = b/c
因此（a^2-b^2)/c^2=[sin^2(A)-sin^2(B)]/sin^2(C)
=[1/2(1-cos2A)-1/2（1-cos2B)]/sin^2(C)
=1/2(cos2B-cos2A)/sin^2(C)
=1/2[-2sin(B+A)sin(B-A)]/sin^2(C)
=sin[180-(B+A)]sin(A-B)/sin^2(C)
=sinCsin(A-B)/sin^2(C)
=sin(A-B)/sinC
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