求积分cos^2/x^2+1 dx 上下限都为无穷如果可以的话希望根据e^-|t| 傅里叶变换等于2/(w^2+1)来求解.

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 20:49:03
求积分cos^2/x^2+1dx上下限都为无穷如果可以的话希望根据e^-|t|傅里叶变换等于2/(w^2+1)来求解.求积分cos^2/x^2+1dx上下限都为无穷如果可以的话希望根据e^-|t|傅里

求积分cos^2/x^2+1 dx 上下限都为无穷如果可以的话希望根据e^-|t| 傅里叶变换等于2/(w^2+1)来求解.
求积分cos^2/x^2+1 dx 上下限都为无穷
如果可以的话希望根据e^-|t| 傅里叶变换等于2/(w^2+1)来求解.

求积分cos^2/x^2+1 dx 上下限都为无穷如果可以的话希望根据e^-|t| 傅里叶变换等于2/(w^2+1)来求解.
已知f(t)=e^(-|t|)的傅里叶变换为F(w)=2/(w^2+1)
所以根据傅里叶反变换
e^(-|t|)=f(t)=(1/2π) ∫(-∞,+∞) F(w)e(iwt)dw=(1/2π) ∫(-∞,+∞) [2/(w^2+1)]e(iwt)dw
=(1/π) ∫(-∞,+∞) [coswt/(w^2+1)]dw
令t=2得到
∫(-∞,+∞) [cos2w/(w^2+1)]dw=πe^(-2)
把w换成x得到
∫(-∞,+∞) [cos2x/(x^2+1)]dx=πe^(-2)
下面来求本题的积分
∫(-∞,+∞) [(cosx)^2/(x^2+1)]dx
=(1/2)∫(-∞,+∞) [(1+cos2x)/(x^2+1)]dx
=(1/2) {∫(-∞,+∞) [1/(x^2+1)]dx + ∫(-∞,+∞) [cos2x/(x^2+1)]dx}
=(1/2) {arctanx |(-∞,+∞) +πe^(-2)}
=(1/2) [π+πe^(-2)]
=(π/2)(1+e^(-2))
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