以任意四边形的各边做正方形,连接对边正方形的中心,求证连线垂直
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 14:56:28
以任意四边形的各边做正方形,连接对边正方形的中心,求证连线垂直
以任意四边形的各边做正方形,连接对边正方形的中心,求证连线垂直
以任意四边形的各边做正方形,连接对边正方形的中心,求证连线垂直
先证：任意三角形的两边向外做正方形,求证正方形中心与三角形的第三边中点的连线互相垂直且相等.
三角形ABC,以AB,AC为边向外做正方形ABDE,ACFG；AD与BE交于M,AF与CG交于N,H为BC的中点,求证：HM垂直HN,HM=HN
取AB的中点P,AC的中点Q,连接MP,NQ
因为 在正方形ABDE,ACFG中 ABM,ACN是等腰直角三角形,P是AB的中点,Q是AC的中点
所以 MP垂直AB,MP=1/2AB,NQ垂直AC,NQ=1/2AC
因为 H是BC的中点,P是AB的中点,Q是AC的中点
所以 HP,HC是三角形ABC的中位线
所以 HP//AC,HP=1/2AC,HQ//AB,HQ=1/2AB
因为 HP//AC
所以 角BPH=角BAC
因为 HQ//AB
所以 角CQH=角BAC
因为 MP垂直AB,NQ垂直AC
所以 角MPB=角NQC=90度
因为 角BPH=角BAC,角CQH=角BAC
所以 角MPB+角BPH=角NQC+角CQH
所以 角MPH=角HQN
因为 HP=1/2AC,HQ=1/2AB,MP=1/2AB,NQ=1/2AC
所以 HP=NQ,MP=HQ
因为 角MPH=角HQN
所以 三角形MHP全等于三角形HNQ
所以 HM=HN,角QHN=角PMH
因为 角MPB=90度
所以 在三角形PHM中 角PMH+角MHP+角BPH=90度
因为 HQ//AB
所以 角BPH=角PHQ
因为 角QHN=角PMH,角BPH=角PHQ
所以 角PMH+角MHP+角BPH=角QHN+角MHP+角PHQ=角MHN
因为 角PMH+角MHP+角BPH=90度
所以 角MHN=90度
所以 HM垂直HN
所以 HM垂直HN,HM=HN
四边形ABCD,四边向外做正方形,正方形中心分别为P,Q,M,N,即等腰直角三角形ABP,BCQ,CDM,ADN,求证：PM垂直QN
设QN与OP交于E,PM与QN交于F
连接AC,取AC的中点O,连接OP,OQ,OM,ON
由上面证的结论得：OP垂直OQ,OP=OQ,OM垂直ON,OM=ON
所以 角QOP=角NOM=90度
所以 角QOP+角PON=角NOM+角PON,即 角QON=角POM
因为 OP=OQ,OM=ON
所以 OP/OQ=OM/ON
因为 角QON=角POM
所以 三角形POM全等于三角形QON
所以 角OPM=角OQN
因为 角QEO=角PEF
所以 角PFQ=角QOP
因为 角QOP=90度
所以 角PFQ=90度
所以 PM垂直QN