如图,P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BP=BQ,过B点作PC的垂线,垂足为H(1)若正方形ABCD的边长为1,P位AB的三等分点,求△BHQ的面积;(2)求证:DH⊥HQ
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/07 18:08:40
如图,P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BP=BQ,过B点作PC的垂线,垂足为H(1)若正方形ABCD的边长为1,P位AB的三等分点,求△BHQ的面积;(2)求证:DH⊥HQ
如图,P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BP=BQ,过B点作PC的垂线,垂足为H
(1)若正方形ABCD的边长为1,P位AB的三等分点,求△BHQ的面积;
(2)求证:DH⊥HQ
如图,P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BP=BQ,过B点作PC的垂线,垂足为H(1)若正方形ABCD的边长为1,P位AB的三等分点,求△BHQ的面积;(2)求证:DH⊥HQ
1、BP=1/3AB=1/3
∴PC²=PB²+BC²=(1/3)²+1²=10/9
PC=√10/3
∵BH⊥PC
∴∠BHP=∠PBC=90°
∵∠BPH=∠CPB
∴△BPH∽△BCP
∴PB/PC=PH/PB
(1/3)/(√10/3)=PH/(1/3)
PH=√10/30
∴CH=PC-PH=√10/3 -√10/30=3√10/10
∴BH²=PB²-PH²=(1/3)²-(√10/30)²=90/30²
BH=√10/10
∴S△BCH=1/2BH×CH=1/2×√10/10×3√10/10=3/20
∵BQ=PB=1/3
即BQ/BC=1/3
∴S△BHQ=1/3S△BCH=1/3×3/20=1/20
2、在Rt△PBC中,
∵BH⊥PC,
∴∠PBC=∠PHB=90°,
∴∠PBH=∠PCB.
显然,Rt△PBC∽Rt△BHC
∴ 由已知,BP=BQ,BC=DC,
∵∠ABC=∠BCD=90°,∠PBH=∠PCB,
∴∠HBQ=∠HCD.
在△HBQ与△HCD中,
∵,∠HBQ=∠HCD,
∴△HBQ∽△HCD,
∴∠BHQ=∠DHC,∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC.
又∵∠BHQ+∠QHC=90°,
∴∠QHD=∠QHC+∠DHC=90°,即DH⊥HQ.