设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,求证a/x+c/y=2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 18:31:11
设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,求证a/x+c/y=2
设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,求证a/x+c/y=2
设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,求证a/x+c/y=2
x为a与b等差中项 ==>2x=a+b
y为b与c等差中项 ==>2y=b+c
a,b,c成等比数列 ==>b^2=ac (b^2 表示 b的二次方)
∴a/x+c/y=2a/(a+b) + 2c/(b+c)
=2[a(b+c)+c(a+b)]/[(a+b)(b+c)]
=2[ab+ac+ac+bc]/[ab+ac+b^2+bc]
=2[ab+ac+ac+bc]/[ab+ac+ac+bc]
=2
先由a，b，c三数成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，根据x，y分别为a，b和b，c的等差中项，利用等差数列的性质得到两个关系式2x=a+b和2y=b+c，然后结合分析法整理即可得到结论
证明：因为a，b，c成等比数列
所以 b2=ac①
又x，y分别为a与b，b与c的等差中项
所以 2x=a+b，2y=b+c②
要...
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先由a，b，c三数成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，根据x，y分别为a，b和b，c的等差中项，利用等差数列的性质得到两个关系式2x=a+b和2y=b+c，然后结合分析法整理即可得到结论
证明：因为a，b，c成等比数列
所以 b2=ac①
又x，y分别为a与b，b与c的等差中项
所以 2x=a+b，2y=b+c②
要证a/x+c/y=2
只要证 ay+cx=2xy
只要证 2ay+2cx=4xy
由①②得 2ay+2cx=a（b+c）+c（a+b）=ab+2ac+bc；
而4xy=（a+b）（b+c）=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc成立．
所以命题得证．
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