向量应用问题平行四边形ABCD的对角线AC和BD平分交于O,又以DC边的中点P为圆心,DP长为半径作圆P,用向量知识解答下题:若圆P的一直径MN两端可在圆周上滑动,问当直径MN在什么位置时?AM乘BN取最
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/08 10:21:36
向量应用问题平行四边形ABCD的对角线AC和BD平分交于O,又以DC边的中点P为圆心,DP长为半径作圆P,用向量知识解答下题:若圆P的一直径MN两端可在圆周上滑动,问当直径MN在什么位置时?AM乘BN取最
向量应用问题
平行四边形ABCD的对角线AC和BD平分交于O,又以DC边的中点P为圆心,DP长为半径作圆P,用向量知识解答下题:
若圆P的一直径MN两端可在圆周上滑动,问当直径MN在什么位置时?AM乘BN取最大值?
向量应用问题平行四边形ABCD的对角线AC和BD平分交于O,又以DC边的中点P为圆心,DP长为半径作圆P,用向量知识解答下题:若圆P的一直径MN两端可在圆周上滑动,问当直径MN在什么位置时?AM乘BN取最
当MN=DC时,AM·BN取得最大值:|AD|^2
AP=AD+DP=AD+AB/2
BP=BC+CP=AD-DC/2=AD-AB/2
AM=AP+PM=(AD+AB/2)+PM
BN=BP+PN=(AD-AB/2)+PN
PM=-PN,|PM|=|PN|=|DP|=|CP|=|AB|/2
故:AM·BN=((AD+AB/2)+PM)·((AD-AB/2)+PN)
=(AD+AB/2)·(AD-AB/2)+PN·(AD+AB/2)+PM·(AD-AB/2)+PM·PN
=|AD|^2-|AB|^2/4+PN·(AD+AB/2-AD+AB/2)-|PN|^2
=|AD|^2-|AB|^2/4+PN·AB-|AB|^2/4
=|AD|^2-|AB|^2/2+PN·DC
当PN、DC同向时,PN·DC取得最大值:|AB|*|AB|/2=|AB|^2/2
此时,AM·BN取得最大值:|AD|^2-|AB|^2/2+|AB|^2/2=|AD|^2
即:MN与DC重合时,AM·BN取得最大值