已知a,b为锐角,且3(sina)^2+2(sinb)^2=1,3sin2a-2sin2b=0,求a+2bcos(a+2b)=0a,b为锐角，a+2b
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 12:23:50
已知a,b为锐角,且3(sina)^2+2(sinb)^2=1,3sin2a-2sin2b=0,求a+2bcos(a+2b)=0a,b为锐角，a+2b
已知a,b为锐角,且3(sina)^2+2(sinb)^2=1,3sin2a-2sin2b=0,求a+2b
cos(a+2b)=0
a,b为锐角，a+2b
已知a,b为锐角,且3(sina)^2+2(sinb)^2=1,3sin2a-2sin2b=0,求a+2bcos(a+2b)=0a,b为锐角，a+2b
第一式：3(sina)^2+2(sinb)^2=1
3(sina)^2=1-2(sinb)^2=cos2b
第二式：3sin2a-2sin2b=0
6sina·cosa=2sin2b
两式交叉相乘：
3(sina)^2·2sin2b=6sina·cosa·cos2b
sina·sin2b=cosa·2cos2b
cosa·cos2b-sina·sin2b=0
即 cos(a+2b)=0
a,b为锐角,a+2b<270°
a+2b=90°
因为3(sinA)^2=1-2(sinB)^2=cos2B
3sin2A/2=sin2B
(cos2B)^2+(sin2B)^2=1
所以[3(sinA)^2]^2+(3sin2A/2)^2=1
-->9(sinA)^4+9(sinAcosA)^2=1
-->9(sinA)^4+9(sinA)^2[1-(sinA)^2]=1
设(sinA)^2=t，...
全部展开
因为3(sinA)^2=1-2(sinB)^2=cos2B
3sin2A/2=sin2B
(cos2B)^2+(sin2B)^2=1
所以[3(sinA)^2]^2+(3sin2A/2)^2=1
-->9(sinA)^4+9(sinAcosA)^2=1
-->9(sinA)^4+9(sinA)^2[1-(sinA)^2]=1
设(sinA)^2=t，则9t^2+9t(1-t)=1，
解得t=1/9，从而sinA=1/3,cosA=2*根号2/3。
因为2B∈(0,2π)且cos2B=3(sinA)^2=1/3>0，所以2B∈(0,π)。
因为A∈(0,π/2)，所以(π/2-A)∈(0,π/2)。
由cos2B=sinA=cos(π/2-A)且余弦函数在(0,π/2)有单调性，
可得2B=π/2-A
即A+2B=π/2。
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