△ABC的三边长分别是3,4,5,点P为它内切圆上一点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 14:21:56
△ABC的三边长分别是3,4,5,点P为它内切圆上一点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值
△ABC的三边长分别是3,4,5,点P为它内切圆上一点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值
△ABC的三边长分别是3,4,5,点P为它内切圆上一点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值
ΔABC边长分别是3,4,5,所以是直角三角形,可以求得内切圆的半径为1
分别以两直角边为x,y轴建立直角坐标系,假设较长直角边和x轴重合,
设：S=PA²+PB²+PC²
则S＝x^2+y^2+(4-x)^2+y^2+x^2+(3-y)^2=3(x^2+y^2)-8x-6y+25
内切圆的方程为（x-1）^2+(y-1)^2=1
因为点p在内切圆上,所以满足上述内切圆方程,所以x^2+y^2-2x-2y+1=0
所以S＝3（2x+2y-1）-8x-6y+25=22-2x
因为0≤x≤2,所以18≤S≤22
则三个圆面积之和的最大值为22π,最小值为18π
建立坐标系 设A（3，0），B（0，4），C（0，0），P（x，y），△ABC内切圆半径为r．
∵三角形ABC面积 S=1 /2 AB×AC=1 /2 （AB+AC+BC）r=12，解得 r=1
即内切圆圆心坐标为 （1，1）
∵P在内切圆上
∴（x-1）^2+（y-1)^2=1
∵P点到A，B，C距离的平方和为 d=x^2+y^2+（x-3）^2+y^2+...
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建立坐标系 设A（3，0），B（0，4），C（0，0），P（x，y），△ABC内切圆半径为r．
∵三角形ABC面积 S=1 /2 AB×AC=1 /2 （AB+AC+BC）r=12，解得 r=1
即内切圆圆心坐标为 （1，1）
∵P在内切圆上
∴（x-1）^2+（y-1)^2=1
∵P点到A，B，C距离的平方和为 d=x^2+y^2+（x-3）^2+y^2+x^2+（y-4）^2=3（x-1）^2+3（y-1）^2-2y+19=22-2y
显然 0≤y≤2 即 18≤d≤22，
∴9π /2 ≤πd/ 4 ≤11π /2 即以PA，PB，PC为直径的三个圆面积之和最大值为11π/ 2 最小值为 9π /2 ．
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假设三角形ABC，B C=5,AB=4,AC=3
以A为圆点，AB为X正半轴，AC为Y正半轴，建立平面直角坐标系
则：A（0，0），B（4，0），C（0，3）
内切圆半径R,圆心P
S△ABC=1/2AB*AC=1/2R(AB+AC+BC)
R=(3*4)/(3+4+5)=1
P(1,1),圆的参数方程：
p(1+cost,1+sint)
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假设三角形ABC，B C=5,AB=4,AC=3
以A为圆点，AB为X正半轴，AC为Y正半轴，建立平面直角坐标系
则：A（0，0），B（4，0），C（0，3）
内切圆半径R,圆心P
S△ABC=1/2AB*AC=1/2R(AB+AC+BC)
R=(3*4)/(3+4+5)=1
P(1,1),圆的参数方程：
p(1+cost,1+sint)
R1^2=PA^2/4=[（1+cost)^2+(1+sint)^2)]/4
=(1+cost+sint)/2
R2^2=PB^2/4=[（3-cost)^2+(1+sint)^2)]/4
=(11+2sint-6cost)/4
R3^2=PC^2/4=[（1+cost)^2+(2-sint)^2)]/4
=(6+2cost-4sint)/4
三个圆面积之和
=∏（19-2cost)/4
cost=-1,，最大21∏/4
cost=1,最小17∏/4
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