y=log2(x^2+x+a)的值域是R,则a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 09:09:38
y=log2(x^2+x+a)的值域是R,则a的取值范围
y=log2(x^2+x+a)的值域是R,则a的取值范围
y=log2(x^2+x+a)的值域是R,则a的取值范围
首先真数>0
x^2+x+a恒>0
方程x^2+x+a=0判别式<0
1-4a<0 a>1/4
y=log2(x^2+x+a)=log2[(x+1/2)^2+a-1/4]
由于底数=2>1,因此当x=-1/2时,y取到最小值log2(a-1/4)
要值域为R,则a-1/4需要无限接近于0
因此本题a的取值范围应该为a>1/4,且a无限接近于1/4.
y=log2(x^2+x+a)的值域是R
所以 x平方+x+a恒大于0
所以判别式小于0 所以1-4a＜0
所以 a＞1/4
“y=log2(x^2+x+a)的值域是R，”
由这句话，除了得到x^2+x+a>0必须成立外，还得到“x^2+x+a”的值域为(0，正无穷)。（因为当x在定义域中取值时，得到的x^2+x+a必须将0到正无穷的数都取到，否则y=log2(x^2+x+a)的值域就不能保证是R）
因此得到函数y=x^2+x+a的德尔塔>=0，得到a<=1/4
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“y=log2(x^2+x+a)的值域是R，”
由这句话，除了得到x^2+x+a>0必须成立外，还得到“x^2+x+a”的值域为(0，正无穷)。（因为当x在定义域中取值时，得到的x^2+x+a必须将0到正无穷的数都取到，否则y=log2(x^2+x+a)的值域就不能保证是R）
因此得到函数y=x^2+x+a的德尔塔>=0，得到a<=1/4
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还可以这样理
如果按照错误的理解做的话，注意到：
“y=log2(x^2+x+a)的值域是R”推出“x^2+x+a>0”
但是反推的时候就会发现“x^2+x+a>0”只能推出“y=log2(x^2+x+a)有意义”而已，并不能推出其值域是R的结论。这就说明“y=log2(x^2+x+a)的值域是R”所含信息没有被完全发掘。
所以应该这样理解“y=log2(x^2+x+a)的值域是R”推出“x^2+x+a>0”且“y=x^2+x+a的值域为(0，正无穷)”，这样才可以反推。
而题目没有给我们定义域即x的取值范围，更没有说定义域是R。所以a的取值范围对“x^2+x+a>0恒成立”没有多少意义。
“y=x^2+x+a的值域为(0，正无穷)”即y轴上0上面的所有y值都必须取道，因此需要保证y值的最低点小于或等于0才行，即最低点必须伸到x轴下方去，那样的话就是德尔塔<=0.
收起
a<=1/4