如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为EF,CG是AB边上的高（1）DE,DE,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以说明(2）若D在底边的延长线上（1）中的结论还成立

如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为EF,CG是AB边上的高（1）DE,DE,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以说明(2）若D在底边的延长线上（1）中的结论还成立
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为EF,CG是AB边上的高
（1）DE,DE,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以说明
(2）若D在底边的延长线上（1）中的结论还成立吗?若不成立,又存在怎样的关系?请说明理由.

如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为EF,CG是AB边上的高（1）DE,DE,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以说明(2）若D在底边的延长线上（1）中的结论还成立
第一个问题：其中的一个DE应该是DF吧!若是这样,则有：CG＝DE＋DF.
方法一：
过C作CH⊥ED交ED的延长线于H.
∵CG⊥EG、HE⊥EG、CH⊥EH,∴CGEH是矩形,∴CG＝EH.
∵EB⊥EH、CH⊥EH,∴EB∥CH,∴∠B＝∠DCH.又AB＝AC,∴∠B＝∠DCF,
∴∠DCH＝∠DCF,而CD＝CD,∠DFC＝∠DHC＝90°,∴△DCF≌△DCH,∴DF＝DH,
∴EH＝DE＋DH＝DE＋DF.结合证得的CG＝EH,得：CG＝DE＋DF.
方法二：
∵AB＝AC,∴△ABD、△ABC、△ACD是等底三角形,
∴△ABD的面积/△ABC的面积＝DE/CG.△ACD的面积/△ABC的面积＝DF/CG.
两式相加,得：（△ABD的面积＋△ACD的面积）/△ABC的面积＝（DE＋DF）/CG.
显然,（△ABD的面积＋△ACD的面积）/△ABC的面积＝1,∴（DE＋DF）/CG＝1,
∴CG＝DE＋DF.
第二个问题：此时CG＝DE－DF.考虑到对称性,只需要证明D在BC的延长线上就可以了.
方法一：
过C作CK⊥DE交DE于K.
∵CG⊥GE、EK⊥GE、CK⊥EK,∴CKEG是矩形,∴CG＝EK.
∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB＝∠DCF.
∵CK⊥EK、BE⊥EK,∴BE∥CK,∴∠B＝∠DCK,结合证得的∠B＝∠DCF,得：
∠DCK＝∠DCF,又CD＝CD,∠CKD＝∠CFD,∴△CDK≌△CDF,∴DK＝DF,
∴EK＝DE－DK＝DE－DF,结合证得的CG＝EK,得：CG＝DE－DF.
方法二：
∵AB＝AC,∴△ABC、△ABD、△ACD是等底三角形,
∴△ABC的面积/△ABD的面积＝CG/DE.△ACD的面积/△ABD的面积＝DF/DE.
两式相加,得：（△ABC的面积＋△ACD的面积）/△ABD的面积＝（CG＋DF）/DE.
显然,（△ABC的面积＋△ACD的面积）/△ABD的面积＝1,∴（CG＋DF）/DE＝1,
∴CG＋DF＝DE,∴CG＝DE－DF.

(1)DE+DF=CG.
证明:设AB=AC=m.(m>0)
连接AD,则S⊿ABD+S⊿ACD=S⊿ABC;
即:(1/2)AB*DE+(1/2)AC*DF=(1/2)AB*CG.
即:(1/2)m*DE+(1/2)m*DF=(1/2)m*CG.
所以,DE+DF=CG.
(2)当点D在底边延长线上时,(1)中的结论不成立.

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(1)DE+DF=CG.
证明:设AB=AC=m.(m>0)
连接AD,则S⊿ABD+S⊿ACD=S⊿ABC;
即:(1/2)AB*DE+(1/2)AC*DF=(1/2)AB*CG.
即:(1/2)m*DE+(1/2)m*DF=(1/2)m*CG.
所以,DE+DF=CG.
(2)当点D在底边延长线上时,(1)中的结论不成立.
当点D在线段BC延长线上时:DE-DF=CG;
当点D在线段CB延长线上时:DF-DE=CG.
证明:当点D在线段BC延长线上时,连接AD.
设AB=AC=m,S⊿ ABD-S⊿ACD=S⊿ABC;
即:(1/2)AB*DE-(1/2)AC*DF=(1/2)AB*CG;
(1/2)m*DE-(1/2)m*DF=(1/2)m*CG;
DE-DF=CG.
当点D在线段CB延长线上时,同理相似可证:DF-DE=CG.

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（1）DE+DF=CG．
证明：连接AD，
则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12AB•CG=12AB•DE+12AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．
（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG．
理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，
即1...

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（1）DE+DF=CG．
证明：连接AD，
则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12AB•CG=12AB•DE+12AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．
（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG．
理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，
即12AB•DE=12AB•CG+12AC•DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理当D点在CB的延长线上时，则有DE-DF=CG，说明方法同上

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