定义在R+上的函数f(x)单调递增,并且满足f(2)=1,f(x*y)=f(x)+f(y) （1）求证f(x²）=2f（x）（1）求证f(x²）=2f（x）（2）求f（1）的值（3）若f（x）+f（x-2）≤2,求x的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 00:15:56
定义在R+上的函数f(x)单调递增,并且满足f(2)=1,f(x*y)=f(x)+f(y) （1）求证f(x²）=2f（x）（1）求证f(x²）=2f（x）（2）求f（1）的值（3）若f（x）+f（x-2）≤2,求x的取值范围
定义在R+上的函数f(x)单调递增,并且满足f(2)=1,f(x*y)=f(x)+f(y) （1）求证f(x²）=2f（x）
（1）求证f(x²）=2f（x）
（2）求f（1）的值
（3）若f（x）+f（x-2）≤2,求x的取值范围
定义在R+上的函数f(x)单调递增,并且满足f(2)=1,f(x*y)=f(x)+f(y) （1）求证f(x²）=2f（x）（1）求证f(x²）=2f（x）（2）求f（1）的值（3）若f（x）+f（x-2）≤2,求x的取值范围
令y=x代入f(xy)=f(x)+f(y)得到f(x^2)=2f(x)
令x=1,所以f(1^2)=2f(1), 所以f(1)=0
f(4)=f(2^2)=2f(2)=2
所以f(x(x-2))=f(x)+f(x-2)<=2=f(4)
所以f(x(x-2))<=f(4)
因为单调递增,所以x(x-2)<=4, x^2-2x-4<=0, 1-根号5<=x<=1+根号5
因为定义在正R上,所以要求x>0, x-2>0, 综合得到2
答：
（1）f(xy)=f(x)+f(y)
令y=x，则有：f(x^2)=2f(x)
（2）令x=y=1，f(1*1)=f(1)+f(1)
所以：f(1)=0
（3）f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2*1=2
所以：f[x*(x-2)]=f(x)+f(x-2)<=2=f(4)
所以：
0
x-2>0，x>2
解得：2
证明：(1)因为f(x*y)=f(x)+f(y)
所以，当x=y时，f(x*x)=f(x^2)=f(x)+f(x)=2f(x)
（2）因为f(2)=1,f(x*y)=f(x)+f(y)
所以,f(2)=1=f(2*1)=f(2)+f(1)=1+f(1)
所以，f(1)=0
（3）因为f(x)+f(y)=f(x*y)
所以若f(x)+f(x-2)<=2...
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证明：(1)因为f(x*y)=f(x)+f(y)
所以，当x=y时，f(x*x)=f(x^2)=f(x)+f(x)=2f(x)
（2）因为f(2)=1,f(x*y)=f(x)+f(y)
所以,f(2)=1=f(2*1)=f(2)+f(1)=1+f(1)
所以，f(1)=0
（3）因为f(x)+f(y)=f(x*y)
所以若f(x)+f(x-2)<=2，则有f(x(x-2))<=2
又因为f(x*y)=f(x)+f(y)
f(2)=1,
所以f(2x)=1+f(x)
所以，对于任意x>0，均有2x>x,且f(2x)=1+f(x)>f(x)
所以，f(x)在R+上是单调增函数。
又因为f(2)=1,f(x^2)=2f(x)
所以f(4)=2
所以，若f(x(x-2))<=2
则有x(x-2)<=4
x^2-2x-4<=0
x^2-2x+1<=5
-√5<=x+1<=√5
-√5-1<=x<=√5-1
又因为f(x)是定义在R+上的函数
所以，x的取值范围是(0,√5-1)
希望可以帮助你。
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